7.3 Описание линейных стационарных систем уравнениями с передаточными функциями.
Передаточная функция линейной системы – относительное изображение по Лапласу выходного и входного сигнала с нулевыми начальными условиями
Передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию комплексной переменной P.
(*)
-вещественные
постоянные
-неотрицательные
целые числа, называемые числом нулей(m)
передаточной функции и числом полюсов
(n).
Замечание:
В ТУ соотношение (*) изображают в виде прямоугольника
U
W(p)
Y
Преобразование импульсной переходной функции (т.е. реакция динамической системы на воздействие δ-функции Дирака) является передаточной функцией этой системы.
W(p)
x
Пример: пусть система представлена обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
(*)
где
,
то
-полиномиальные
коэффициенты.
Замечание:
Полученное выражение передаточной функции в символической (операторной) форме можно получить, используя операторную форму записи, заданную дифференциальным уравнением.
,
где
-собственный
оператор системы
-оператор
управления
В
этом случае
передаточная функция системы допускает
следующую интерпретацию: если выбрать
управляющий (входной) сигнал в виде
,
гдер
-комплексное
число такое, что собственный оператор
,
то линейное неоднородное уравнение
системы (*) имеет частное решение в виде:
W(p)
Пример: Пусть математическая модель системы есть линейно-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами следующего вида:
,
где
В этом случае, переписав уравнение в операторной (алгебраизированной) форме, имеем:
,
где
-
передаточная функция по управлению
-
передаточная функция по возмущению
Замечание:
Передаточная функция системы не зависит от характера приложенных воздействий, а определяется лишь параметрами и структурой самой системы и дает тем самым её динамическую характеристику.
Если начальные значения исследуемой динамической системы не нулевые, то для её математического описания нельзя использовать передаточные функции.
Сказанное поясним для двух систем, описываемых следующими уравнениями:
(1)
(2)
Первая модель –дифференциальное уравнение 2-го порядка.
Чисто механически имеем операторное значение:
(3)-для
(1)
(4)-для
(2)
Перепишем (3) и (4) в виде:
(5)
(6)
Пусть входное воздействие u=t изменяется во времени по прямому закону. В этом случае решением дифференциального уравнения является:
Для
(1)
(7)
Для
(2)
(8)
находят
из начальных условий.
Эти два решения (7) и (8) совпадают только при нулевых начальных условиях.
Если
,
то имеем из (7):
(9)
Дифференцируя (7) имеем:
(10)
(11)
Из
(9) и (11) следует, что
Для первой динамической системы окончательное решение имеет вид:
(12)
Аналогично,
решением второй системы будет:
(13)
При других ( не нулевых) начальных условиях решения (1) и (2) не совпадают. Именно поэтому отношение (5) не может служить описанием первой системы, т.е. на самом деле имеем:
Пояснение:
Собственный оператор Q(p) и оператор управления R(p) имеют общий множитель (0) и при вычислении передаточной функции они сокращаются. Очевидно, что по полученной передаточной функции восстановить аналитическое описание первой системы не возможно. Эта передаточная функция соответствует только дифференциальному уравнению второй системы.
Замечание:
Понятие передаточной функции обобщается и на линейные модели других типов: векторную (матричную), включая нестационарные, дискретные, с распределенными параметрами.
Напоминание: система с распределенными параметрами
R - обладает как емкостью, так и индуктивностью, так и активным сопротивлением.
С – обладает активным сопротивлением, утечками и т.п.
Если система уравнений задана векторами состояния и наблюдения, то их преобразования Лапласа при нулевых начальных условиях:
(*)
V(p)- входное воздействие
(**)
Е- единичная матрица.
Подставляя первое уравнение системы во второе, имеем:
или
W(p)- матрица передаточной функции
Элемент
есть
передаточная функция от входов и выходов,
соответственно
и
,
т.е.
V
W(p) Wi(p)
Vm Ym