Эквивалентные преобразования структурных схем.

В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.

Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т.е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.

A = <M,Ω>

Л = {∙, +} f: W² ─> W

М = {W}_{i =1,n} f = W×W

Основные правила структурных схем сведем к соответствию:

1. Перестановка однородных элементов (сумматоры, узлы ответвленья, сами звенья) в последовательных и параллельных схемах.

Название операции	Исходная схема	Преобразованная схема
Перенесение сумматора через сумматор
Перенесение через звено последовательной схемы
Перенос узла через узел
Перенос звена в параллельной схеме

2. Перестановка неоднородных элементов (сумматора с узлом звеньев в прямой цепи и цепи с ОС, узла со звеном, сумматора со звеном)

Название операции	Исходная схема	Преобразованная схема
Перенос сумматора через узел по ходу сигнала
Название операции	Исходная схема	Преобразованная схема
Перенос узла через сумматор по ходу сигнала
Перенос звеньев в системе с ООС
Перенос звеньев в системе с положительной ОС
Перенос узла через звено по ходу сигнала
Перенос звена через узел по ходу сигнала
Перенос сумматора через звено по ходу сигнала
Перенос звена через сумматор по ходу сигнала

В приведенных таблицах:

• Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.

Действительно, т.к. y₁= W₁(p)V₁, … , y= W_n(p)y_n-1, то исключив из этой системы y₁…y_n-1 получим y = W₁(p)*W₂(p)*…*W_n(p)*V

• Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.

y₁ = W₁(p)*V, y₂ = W₂(p)*V, … , y_n = W_n(p)*V

Сложив эти n уравнений имеем:

• Совокупность звена, с охватывающим его звеном ОС можно заменить звеном с передаточной функцией.

+ для ПОС; – для ООС

Т.к. рассогласование ∆ =V±V_ОС y =W_п∙∆ V_ОС = W_ОС(p)∙y, то исключив из этой системы ∆, V_ОС получим:

y = W_П∙(V– W_ОС(p)∙y) = W_п(p)∙V

т.е.

Если передаточная функция звена цепи ОС = 1, то говорят о единичной ОС, в этом случае передаточная функция записывается в виде:

Пояснение:

Перенос сумматора через звено:

Действительно: y = W₂(p)∙(y₁+z) = W₂(p)∙y₁+W₂(p)∙z

• Перенос узла через звено:

• а) Перенос рядом расположенных узлов: 2 узла всегда можно поменять местами.

• б) Перестановка рядом расположенных сумматоров: 2 сумматора всегда можно поменять местами.

• Перестановка узла и сумматора:

Узел и сумматор всегда можно поменять местами (если они рядом расположены)

Примеры преобразований структурных схем САУ:

1. Найти передаточную функцию одноконтурной системы управления:

Решение представленной задачи следующее:

,

2. Найти передаточную функцию по управлению и по возмущению следующей системы управления:

Это так называемая многоконтурная система управления с перекрещивающимися связями. При вычислении передаточной функции по управлению считают дестабилизирующий фактор z=0, а при вычислении передаточной функции по возмущению считают входное воздействие U=0.

а) передаточная функция по управлению:

Передаточную функцию по управлению найдем последовательным преобразованием структуры исходной САУ:

-передаточная функция по управлению.

б) Передаточная функция по возмущению (получим аналогично):