2.2.Примеры

1. Вычислить пять первых членов последовательности =

Решение. Подставив вместо n последовательно 1, 2, 3, 4, 5, получим .

2. Написать общий член последовательности натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дает остаток, равный 1.

Решение. Для того чтобы число при делении на-3 давало остаток 1, оно должно иметь вид 3n+1; следовательно, общий член последовательности =3n+1.

3. Последовательность задана рекуррентным соотношением . Найти первые члены последовательности.

Решение. Зададим первый член последовательности: пусть . Полагая в рекуррентном соотношении n=2, получим При n =3, 4, 5 соответственно находим . В результате получаем последовательность 2, 7, 22, 67, 202, ... .

4. Доказать, что последовательность с общим членом = монотонно убывает.

Решение. Для убывающей последовательности выполняется неравенство , или .Запишем ( )-й член последовательности:

Тогда , так как < при любом натуральном п. Следовательно, данная последовательность является убывающей.

5. Доказать, что последовательность ограничена снизу и сверху.

Решение. Очевидно, > 1, т. е. последовательность ограничена снизу. С другой стороны имеем , где – правильная дробь, и, следовательно, 1+ <2, т. е. последовательность ограничена сверху.

2.3. Предел числовой последовательности

Определение 1: Число называется пределом последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число N, зависящее от _,что при всех п > N выполняется неравенство .

Неравенство равносильно двойному неравенству а- < <а+ . Интервал (а- ,а+ ) называют – окрестностью точки а. Тот факт, что число а есть предел последовательности, геометрически означает, что в любой – окрестности точки а находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера, а вне её может находиться лишь конечное число членов. Последовательность может иметь только один предел.

Определение 2: Если последовательность имеет предел, то такую последовательность называют сходящейся; последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

Если последовательность имеет пределом число а, то пишут

. В этом случае говорят, что последовательность сходится к числу а.