6.5. Производная обратной функции

Если дифференцируемая функция с отличной от нуля производной, то производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции:

Доказательство:

- соответствующее приращение обратной функции .

(в силу непрерывности обратной функции при )

.

6.6. Производная неявно заданной функции

Если функция задана неявно , следует продифференцировать обе части тождества, применяя правило дифференцирования сложной функции (помня, что - функция от ).

6.7. Производная показательно- степенной функции

_Пусть ,

Прологарифмируем обе части:

.

6.8. Производная функции, заданной параметрически

Часто применяется способ задания функции, при котором текущие координаты являются функцией третьей переменной величины, параметра t:

, такой способ задания называется параметрическим.

_{перейдем к пределу: Получаем:}

.

Пример:

Найти у^/.

x^/_t = 2а sint×cost; y^/_t = -3а cos²t×sint, тогда у^/ = = -1,5cost.

Лекция № 7 Дифференциал функции

7.1. Понятие дифференциала

Пусть функция имеет в точке х отличную от нуля производную . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, приращение функции можно записать:

Где - постоянная, не зависящая от , - б.м. более высокого порядка малости, чем . Дифференциалом функции y=f(x) в точке называется главная часть приращения функции, линейная относительно ,

Обозначается: , или

Дифференциал dy называется также дифференциалом первого порядка .

Найдем дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции y=x. Так как , то , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Поэтому

дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной .

Теорема Если функция имеет дифференциал в точке , то функция имеет производную в этой точке и обратно.

Доказательство:

1. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х, т.е. разделив это равенство на и взяв предел при получим:

т.е. функция имеет производную в точке х.

Обратно:

2)Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х, т.е. , - б.м. при

, где - б.м. более высокого порядка, т.е. функция имеет дифференциал в точке х.

7.2.Геометрический смысл дифференциала

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведём к графику функции y=f(x) в точке M(x;y) касательную MT и рассмотрим ординату этой касательной для точки (см. рис.). На рисунке Из прямоугольного треугольника MAB имеем:

т.е.

Но, согласно геометрическому смыслу производной, Поэтому

Сравнивая полученный результат с формулой получаем т. е. дифференциал функции y=f(x) в точке x равен приращению ординаты касательной графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

7.3. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Т.к. , где - б.м.

То

Используя это равенство можно оценивать приближенное значение функции вблизи точек, в которых известно точное значение функций.

7.4.Свойства дифференциала функции

Производная как отношение дифференциалов. Пусть , тогда , тогда , т.е. производная равна отношению дифференциалов.

1.

2.