Теоретическая механика. Определение эквивалентных упругих характеристик дискретных систем. Учебное пособие

При выполнении условий (102) (104) первое и третье неравенства из (101) выполняются автоматически, а второе неравенство принимает вид

Условие (105) имеет простой физический смысл: поперечная жесткость связи с атомами первой координационной сферы должна превосходить удвоенную абсолютную величину продольной жесткости связи с атомами второй координационной сферы.

В качестве простейшей модели частиц, позволяющей учесть симметрию решетки, выберем частицы, состоящие из четырех жестко связанных друг с другом материальных точек, расположенных в вершинах квадрата рис. 2,б. Обозначим длину стороны квадрата h. Выберем некоторую исходную частицу, присвоим ей номер α = 0 и рассмотрим взаимодействие данной частицы с соседними: α = ±1, ±2, ±3, ±4 (рис. 2,а). Частицы α = ±1 и α = ±2 и исходная частица обращены друг к другу сторонами и находятся на расстоянии a, частицы α = ±3 и α = ±4 и исход-

ная частица обращены друг к другу углами и находятся на расстоянии

√

2a. Будем считать, что взаимодействие между материальными точками, принадлежащими разным частицам, описывается потенциалом Ми.

Рис. 3: Область устойчивости квадратной решетки при использовании моментного взаимодействия, определяемого потенциалом Ми при n = 2m

Нетрудно убедиться, что условия устойчивости (101) зависят от трех параметров: m, n и ζ = h/a. Первые два параметра определяют скорость убывания потенциала Ми. Параметр ζ представляет собой отношение размера частицы к межатомному расстоянию. Представим область устойчивости на плоскости параметров ζ, m для случая n = 2m (рис. 3).

30

Список литературы

[1]Борн М., Кунь Х. Теория кристаллических решеток. М.: Изд-во иностр. лит., 1959. 488 с.

[2]Вустер У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов. M.: Мир, 1977.

[3]Димитриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001. 575 с.

[4]Жилин П.А. Векторы и тензоры второго ранга в трехмерном пространстве. СПб.: Нестор, 2001. 276 с.

[5]Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории оболочек // Тр. ЛПИ. № 386. Л., 1982. С. 29–46.

[6]Жилин П.А. Основные уравнения теории неупругих сред // Актуальные проблемы механики: Тр. XXVIII летней шк. СПб., 2001. С. 14–58.

[7]Жилин П.А. Теоретическая механика. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001. 146 с.

[8]Жилин П.А. Тензор поворота в описании кинематики твердого тела // Тр. СПбГТУ. № 443. 1992. С. 100–121.

[9]Жилин П.А., Сергеев А.Д., Товстик Т.П. Нелинейная теория стержней: статика, динамика, устойчивость // Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем: Тр. XXIV Всесоюз. шк.-семинара, 1996. СПб., 1997. С. 313–337.

[10]Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972.

[11]Косевич А.М. Теория кристаллической решетки. Харьков: Вища шк., 1988.

[12]Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Изд-во АН СССР, 1961. 426 с.

[13]Кривцов А.М. К теории сред с микроструктурой // Тр. СПбГТУ. № 443. 1992. С. 9–17.

[14]Кривцов А.М., Кривцова Н.В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневост. мат. журн. 2002. Т. 3, № 2. С. 254– 276.

[15]Кунин И.А. Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975. 416 с.

[16]Лагалли М. Векторное исчисление / ОНТИ. М.; Л., 1936. 343 с.

[17]Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловых свойств кристаллов / Пер. с нем. М. Физматгиз, 1963.

[18]Лейбфрид Г., Людвиг В. Теория ангармонических эффектов в кристаллах. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 232 с.

[19]Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970.

[20]Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

[21]Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Дискретные и гибридные модели механики разрушения. СПб. Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 160 с.

[22]Пальмов В.А. Колебания упруго-пластических тел. М.: Наука, 1976. 348 с.

[23]Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Мир, 1975.

[24]Brenner D.W. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 42. P. 9458– 9471.

[25]Terso J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems // Phys. Rev. B. 1988. Vol. 37. P. 6991–7000.

31

Оглавление

2.1Уравнения динамики частиц кристаллической решетки . . 8

2.2Соотношения упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3Внутренняя энергия кристалла . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1Общие уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.2Плотноупакованные решетки . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1Различные подходы к описанию межатомных взаимодействий . . . . . . . . . . 19

4.2Описание взаимодействия частиц общего вида на основе моментной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.3Уравнения динамики частиц кристаллической решетки . . 23

4.4Соотношения упругости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5Уравнение баланса энергии . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6Условия устойчивости квадратной решетки . . . . . . . . . 27

32