Виды дисперсии и правило их сложения
Изучение вариации (колеблемости, рассеивания) признака по всей совокупности в целом, предусматривает изучение вариации для каждой из составляющих ее групп, а также между этими группами. В простейшем случае, когда совокупность разбита на группы по одному фактору, изучение вариации достигается посредством исчисления и анализа трех видов дисперсий: общей, межгрупповой и внутригрупповой.
Общая дисперсия D(x) измеряет вариацию признака по всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловивших эту вариацию. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака (хi) от общей средней величины и может быть вычислена как: 1. простая дисперсия 2. взвешенная дисперсия
Межгрупповая дисперсия (факторная) характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений групповых (частных) средних от общей средней:
Внутригрупповая дисперсия (частная, остаточная, случайная) отражает случайную вариацию неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы (хi) от средней арифметической этой группы (xср) (групповой средней) и может быть исчислена как:
1. простая дисперсия 2. взвешенная дисперсия
На основании внутригрупповой дисперсии по каждой группе можно определить общую среднюю из внутригрупповых дисперсий:
Дисперсия и среднее значение доли альтернативного признака
Среди варьирующих признаков, которые изучает статистика, встречаются признаки, которые проявляются в том, что у одних единиц совокупности эти признаки наблюдаются, у других нет. Иными словами: альтернативный признак - это такой единственный признак, который может принимать единица совокупности из всех возможных вариантов. Если рассматривать продукцию по категориям (сортам), то она может быть либо только I категории (сорта), либо только II категории (сорта) – в данном контексте следует рассматривать эти признаки как два противоположных события. Признаки, которыми обладают одни единицы и не обладают другие, называются альтернативными. Количественно вариация альтернативного признака в численности всей совокупности обозначается p, а доля единиц, не обладающих этим признаком, обозначается q и принимает значения: p=1, q=0
Среднее значение для доли альтернативного признака
Дисперсия альтернативного признака
Подставив в формулу дисперсии q = 1 – p, получим:
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна произведению доли на дополняющее эту долю до единицы число. Т.к. p+q=1, то средний квадрат отклонений не может быть больше 0,25.
Среднеквадратическое отклонение доли альтернативного признака:
Правило сложения дисперсий
Правило сложения дисперсий позволяет определить долю составных частей в общей дисперсии. Показатель, который измеряет эту долю, называется эмпирический коэффициент детерминации.
Согласно правилу сложения дисперсий, общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий.
Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно всегда по двум известным дисперсиям определить третью – неизвестную. Чем больше доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии, тем сильнее влияние группировочного признака на изучаемый признак. Поэтому в статистическом анализе широко используется эмпирический коэффициент детерминации - показатель, представляющий собой долю межгрупповой дисперсии в общей дисперсии результативного признака и характеризующий силу влияния группировочного признака на образование общей вариации:
При отсутствии связи эмпирический коэффициент детерминации равен нулю, а при функциональной связи – единице. Эмпирическое корреляционное отношение (см. пример) – это корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации:
Он показывает тесноту связи между группировочным и результативным признаками. Эмпирическое корреляционное отношение может принимать значения от 0 до 1. Если связь отсутствует, то корреляционное отношение равно нулю, т.е. все групповые средние будут равны между собой, межгрупповой вариации не будет. Значит, группировочный признак никак не влияет на образование общей вариации. Если связь функциональная, то корреляционное отношение будет равно единице. В этом случае дисперсия групповых средних равна общей дисперсии, т.е. внутригрупповой вариации не будет. Это означает, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Чем значение корреляционного отношения ближе к единице, тем теснее, ближе к функциональной зависимости связь между признаками.
4. Основные статистические категории. Задачи статистики на современном этапе ее развития (в условиях рыночной экономики).
Статистика оперирует определенными категориями – понятиями, отражающими существенные, всеобщие свойства и основные отношения явлений действительности.
Объект конкретного статистического исследования называют статистической совокупностью.
Статистическая совокупность – это множество единиц (объектов, явлений), объединённых единой закономерностью и варьирующих в пределах общего качества.
Специфическим свойством статистической совокупности является массовость единиц, поскольку явление характеризуется массовым процессом и всем многообразием определяющих его причин и форм.
Под единицами совокупности понимаются её неделимые первичные элементы, выражающие её качественную однородность, т. е. являющиеся носителями признаков.
Под качественной однородностью единиц совокупности понимается сходство единиц (объектов явлений) по каким-либосущественным признакам, но различающихся по каким-либо другим признакам.
Выделение качественно однородных статистических совокупностей является предпосылкой расчета обобщающих показателей, статистического изучения вариации, связей между признаками.
Единицы статистической совокупности характеризуются общими свойствами, именуемыми в статистике признаками.
Признак – это показатель, характеризующий некоторое свойство объекта совокупности, рассматриваемый, как случайная величина.
Значение каждого признака отдельной единицы совокупности (варианты) могут быть различными.
Вариация – это различия в значениях того или иного признака у отдельных единиц, входящих в данную совокупность. Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по разному сочетаются в каждом отдельном случае.
Наличие вариации является основной предпосылкой статистического исследования. Варьирующие признаки могут быть количественными , если их варианты выражаются числовыми значениями (возраст, стаж работы, оплата труда и прочее) и неколичественными (атрибутивными), не имеющими числового выражения и представляющими собой смысловые понятия (профессия, социальная принадлежность и т д.)
Количественные признаки могут быть дискретными и непрерывными. Случаи, когда варианты признака могут принимать только одно из двух противоположных значений, говорят об альтернативном признаке. Признаки подразделяются на существенные, или главные, выражающие содержательную сторону явлений, и несущественные, или второстепенные, статистическому изучению подлежат существенные признаки.
Признаки, характеризующие статистическую совокупность, взаимосвязаны между собой, поэтому следует различать факторные (признаки-факторы) и результативные признаки.
Факторные признаки – это независимые признаки, оказывающие влияние на другие, связанные с ними признаки.
Результативные признаки – это зависимые признаки, которые изменяются под влиянием факторных признаков.
Итак, квалификация, стаж работы – это факторные признаки, а производительность труда – это результативный признак.