15. Интервал между событиями и его инвариантность по отношению к выбору инерциальной системы отсчета как проявление взаимосвязи пространства и времени.

Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разнос. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнштейна означает относительность отдельных компонентов какой-то реальной фи­зической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инвариантной по отношению к преобразованиям координат. В четырехмерном пространстве Эйнш­тейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами (х, у, z, t), такой физической величиной является интервал между двумя событиями:

расстояние между точками трехмерного пространства, в которых эти события произошли.

Интервал между теми же событиями в системе К' равен. Согласно преобразованиям Лоренца,

т. е. Обобщая полученные результаты, можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-временные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

16. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс. Основной закон релятивистской динамики материальной точки.

Релятивистский закон сложения скоростей. Рассмотрим движение материальной точки в системе К', в свою очередь движущейся относительно системы К со скоро­стью v. Определим скорость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется координатами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то представляют собой соответственно проекции на оси х, у, z и х', у', z' вектора скорости рассматриваемой точки относительно систем К и К'. Согласно преобразованиям Лоренца,

Если материальная точка движется параллельно оси х, то скорость и относительно системы К совпадает с u_x, а скорость и' относительно К' — с . Тогда закон сложения скоростей примет вид

Легко убедиться в том, что если скорости v, и' и и малы по сравнению со скоростью с, то формулы и переходят в закон сложения скоростей в классической механике

17. Релятивистское выражение для кинетической энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Соотношение между полной энергией и импульсом частицы.

Найдем кинетическую энергию релятивистской частицы. Было показано, что приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном переме­щении равно работе силы на этом перемещении:

Учитывая, что dr = v dt,

т. е. приращение кинетической энергии частицы пропорционально приращению ее массы. Кинетическая энергия релятивистской частицы имеет вид

Выражение при скоростях v«c переходит в классическое.

А. Эйнштейн обобщил положение, предположив, что оно справедливо не только для кинетической энергии частицы, но и для полной энергии, именно любое изменение массы m сопровождается изменением полной энергии частицы,

Уравнение выражает фундаментальный закон природы — за­кон взаимосвязи (пропорциональности) массы и энергии: полная энергия системы равна произведению ее массы на квадрат скорости света в вакууме.

В силу однородности времени в релятивистской механике, как и в клас­сической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

18. Элементы кинематики вращательного движения. Угловая скорость и угловое ускорение, их связь с линейными скоростями и ускорениями точек вращающегося тела.

Рассмотрим твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Тогда отдель­ные точки этого тела будут описывать окружности разных радиусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка движется по окружности радиуса R. Ее положение через промежуток времени t зададим углом  . Бесконечно малые повороты можно рассматривать как векторы.

Угловой скоростью(омега) называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени.

Линейная скорость точки

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Тангенциальная составляющая ускорения. Нормальная составляющая ускорения

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: