Задание 3
1. Какая взаимозависимость существует между корнями двух квадратных уравнений, где a, b, c, p, q не равны нулю:
а)
и
б) и
2. Найти рациональный способ решения следующих уравнений:
а)
б)
в)
г)
4.5. Решить уравнения на множестве действительных чисел
Пример
17.
Решение
Рассмотрим
коэффициент при
,
который равен
1.
Если
что происходит при
и
тогда квадратное уравнение "вырождается"
в линейное.
При
,
получаем
при
2.
Если
тогда находим дискриминант и исследуем
уравнение по дискриминанту.
D
= 0 при
Если
то уравнение имеет единственное решение
Если
тогда уравнение имеет решение
Если
и
тогда дискриминант будет положительным
и уравнение будет иметь два различных
действительных корня
Ответ:
1.
Если a
= 0, x
= 0. 2.
Если a
= -1, x
= 2. 3.
Если
тогда
4. Если тогда
5.
Если
тогда уравнение имеет два различных
действительных корня
Пример
18.
Решение
1.
Если
уравнение примет вид:
В
свою очередь, это уравнение при a
= 0 имеет бесконечное множество решений,
При
- единственное решение x
= a.
2.
Если
Найдем дискриминант:
Преобразуем уравнение к приведенному, получим:
Это уравнение два различных действительных корня. По теореме Виета:
Нетрудно
найти, что эти равенства выполняются,
только в одном случае, когда
и
В самом деле, только при этих значениях и будет выполняться теорема Виета для уравнения:
При других возможных комбинациях значений и сумма и произведение их не будут равны данным значениям по теореме Виета. (Конечно, можно воспользоваться обычным способом определения корней по формуле.)
Ответ:
1.
Если
тогда уравнение имеет бесконечное
множество решений, x
- любое действительное число.
2.
Если
тогда уравнение имеет единственное
решение
3.
Если
тогда уравнение имеет два различных
действительных корня:
и
Пример
19.
Решение
Рассмотрим
случай, когда первый коэффициент равен
нулю:
Это
произойдет при
и
1.
При
,
уравнение примет вид:
откуда
2.
При
уравнение примет вид:
откуда
3.
Если
тогда, чтобы уравнение имело корни,
дискриминант должен быть неотрицательным:
После
преобразований, получим:
при любом действительном значении a.
1)
Если D
= 0, тогда уравнение имеет единственное
решение. Это произойдет при
и
Единственный
корень уравнения, при этих значениях a
определяется по формуле
В
частности, при
,
при
,
также
2)
Если
,
D
> 0 и уравнение имеет два различных
действительных корня, которые можно
найти по общей формуле.
Но эти преобразования довольно сложны, поэтому найдем корни, применяя теорему Виета.
Преобразуем уравнение к приведенному, получим:
По
теореме Виета, сумма корней должна быть
равна:
а произведение
Такое
возможно только в одном случае, если
Это легко проверить, выполнив сложение
и умножение корней.
Ответ:
1.
Если
2.
Если
3.
Если
4.
Если
тогда
