Аналитическое решение
1-й способ
Найдем
значения x,
при которых
Разложим трехчлен на множители и решим
полученное неравенство методом
промежутков (см. рис. 39):
Рис. 39
Решением неравенства является объединение промежутков:
или
Решим
данное уравнение, учитывая, что
Для этого воспользуемся определением
абсолютной величины, получим совокупность
двух смешанных систем:
(1)
и (2)
Решим каждую из этих систем:
(1)
(2)
Решения первой системы входят в решения второй, значит, решением уравнения является множество: .
2-й способ
Рассмотрим трехчлен, находящийся под знаком модуля, и установим, при каких значениях x он будет принимать неотрицательные и отрицательные значения.
Итак,
на промежутке
трехчлен
а на промежутках
трехчлен отрицателен
Получим совокупность двух систем:
(1)
и (2)
Решим каждую систему:
(1)
(2)
Объединяя решения 1-й и 2-й систем, получаем: .
Ответ: .
Графическое решение
Построим
графики функций
и
Абсциссы их точек пересечения дадут
решения уравнения.
Чтобы
построить график функции
,
достаточно построить график функции
а затем симметрично "зеркально"
отразить в оси OX
часть параболы, лежащую ниже оси OX.
Графиком
функции
является парабола, ветви которой
направлены вниз.
Координаты ее вершины:
Точки пересечения с осью OX: (2; 0) и (3; 0).
Точки пересечения с осью OY: (0; 6).
Аналогично
построим параболу
(см. рис. 40).
Рис. 40
Графики
полностью совпадают на промежутках
и
Эти промежутки и будут являться решениями
уравнения.
Ответ: .
Пример 23. Решить аналитически и графически уравнение
Решение
Аналитическое решение
Преобразуем уравнение, умножив обе его части на 2, будучи положительным числом, его можно вносить под знак модуля, поэтому получим:
У каждого из трехчленов положительные дискриминанты. Это дает возможность разложить каждый из них на линейные множители.
Уравнение
примет вид:
На числовой прямой (см. рис. 41) отложим точки, в которых каждый из множителей обращается в нуль. В результате получим пять промежутков, на каждом из которых определим знаки трехчленов под модулем и решим полученные уравнения.
Рис. 41
Однако такой способ не будет рациональным. Целесообразнее изобразить промежутки знакопостоянства каждого из трехчленов на числовых осях. Тогда определение их знаков будет упрощено и сделается более наглядным (см. рис. 42).
Рис. 42
При таком схематическом изображении понятно, что:
1)
при
оба трехчлена положительны и уравнение
примет вид:
Решая
его, находим
Оба корня не входят в промежуток
и являются посторонними;
2)
при
первый трехчлен отрицателен, а второй
положителен, получим уравнение:
откуда находим корень
который входит в промежуток
и является решением уравнения;
3) при оба трехчлена отрицательны, получаем:
откуда
который входит в промежуток
и является решением уравнения;
4) при первый трехчлен положителен, второй - отрицателен, получаем уравнение:
отсюда
,
который входит в промежуток
и является решением уравнения;
5)
при
оба трехчлена положительны, получается
такая же ситуация, как и в первом случае.
И здесь, оба корня
не входят в промежуток и являются
посторонними.
Ответ:
