Лабораторна робота №1 Тема:“Використання нелінійного програмування при розв’язуванні задач оптимізації ” Теоретичні відомості:
Постановка і розв’язок задач оптимізації
В загальному випадку процес постановки і рішення задач оптимізації може бути представлений в формі взаємопов’язаних етапів, представлених на рисунку 1.
Рис. 1 – Загальна схема процесу постановки і рішення задач оптимізації
Математична модель задач оптимізації
При розгляді процесу постановки та рішення завдань оптимізації ключову роль відіграє поняття математичної моделі завдань оптимізації та властивості її основних елементів. Саме від властивостей математичної моделі залежить можливість рішення окремого завдання оптимізації та вибір найбільш ефективного алгоритму і способу для цієї мети. Ігнорування або незнання особливостей математичних моделей завдань оптимізації служать джерелом помилок і невдач у рішенні даних завдань.
Поняття математичної моделі та її основні елементи
У загальному випадку під математичною моделлю завдання оптимізації розуміють спеціальний запис постановки й умов рішення типового завдання оптимізації з використанням понять математики й математичної символіки. Відповідно до конкретного завдання оптимізації математична модель відповідає математичній постановці даного завдання.
При постановці завдання оптимізації повинні бути визначені або специфіковані наступні її базові компоненти:
характеристика змінних, фіксований набір значень яких характеризує окреме рішення завдання;
набір обмежуючих умов, що виключають із розгляду окремі рішення через їх фізичну або логічну неможливість;
оціночна функція, що дозволяє кількісно порівнювати різні рішення з метою вибору найкращого з них.
Кожний з базових компонентів математичної моделі завдання оптимізації має свої особливі властивості, які залежать від властивостей відповідних математичних об'єктів. Далі розглядаються лише основні властивості цих компонентів, використовуваних при загальній класифікації завдання оптимізації.
Характеристика змінних
Поняття змінної є одним з фундаментальних у математиці, характерною властивістю якої служить множина прийнятих нею значень. Залежно від специфічних властивостей цієї множини в завданнях оптимізації використовуються три основних типи змінних:
неперервні, безліч прийнятих значень яких має потужність континіума і, як правило, збігається з безліччю всіх ненегативних чисел або є його підмножиною;
цілочисельні або дискретні, безліч прийнятих значень яких має рахункову або навіть кінцеву потужність і, як правило, збігається з безліччю всіх невід’ємних цілих чисел або є його підмножиною;
булеві, безліч прийнятих значень яких має всього лише два значення: 0 і 1.
Характеристика обмежень
Математичний запис обмеження додатково припускає вимогу, що значення даної функції або функцій обмежені деяким інтервалом або числом. Залежно від знака обмеження завдань оптимізації використовуються два основних типи обмежень:
рівності, які символічно записуються у вигляді: g(x, в, z)=a або g(x, в, z) = 0;
нерівності, які символічно записуються у вигляді: g(x, в, z) ≤(≥) a або g(x, в, z) ≤(≥) 0.
Тут а — деяке число, що приймає задане значення в контексті розглянутого завдання оптимізації. Саму функцію g(x, в, z) у цьому випадку називають правою частиною обмеження, а значення а — лівою частиною обмеження. Оскільки можливий випадок, коли а = 0, те саме значення лівої частини обмеження не має принципового характеру.
Залежно від додаткових властивостей функції g(x, в, z) у завданнях оптимізації використовуються наступні основні типи обмежень.
Лінійні, у яких всі функції g(x, в, г) є лінійними щодо всіх своїх змінних.
Нелінійні, у яких всі функції g(x, в, z) є нелінійними щодо всіх своїх змінних. В останньому випадку іноді додатково розглядають наступні типи обмежень:
опуклі, у яких всі функції g(x, в, z) є опуклими щодо всіх своїх змінних;
неопуклі, у яких всі функції g(x, в, z) є неопуклими щодо всіх своїх змінних.
Характеристика цільової функції
Цільовою або критеріальною функцією завдання оптимізації називається деяка оціночна функція, призначена для кількісного порівнянні альтернатив з метою вибору найкращої. Цільова функція визначається як деяка математична функція, функціонал або оператор, що, у загальної випадку, записується у вигляді: f(х, в, z), де f: R1.
Залежно від властивостей функції f(x, в, z) у завданнях оптимізації використовуються наступні основні типи цільових функцій.
Лінійні, у яких функція f(x, в, z) є лінійною відносна всіх своїх змінних.
Нелінійні, у яких функція f(x, в, z) є нелінійної щодо всіх своїх змінних. В останньому випадку іноді додатково розглядають:
опуклі (квадратичні), у яких функція f(x, в, z) є опуклою (відповідно, квадратичної) щодо своїх змінних
неопуклі, у яких функція f(x,в,z) є неопуклою щодо своїх змінних.
Залежно від кількості цільових функцій розглядаються два основних типи завдань оптимізації:
однокритеріалъне завдання оптимізації, у математичній моделі якого є присутня єдина цільова функція;
багатокритеріальне завдання оптимізації, у математичній моделі якого присутні кілька цільових функцій.
У контексті математичної моделі завдань оптимізації вимога знаходження найкращого рішення конкретизується у вимогу максимізації або мінімізації цільової функції. Дана вимога може бути записана символічно у вигляді: f(x, в, z) max або f(x, в, z) min. При цьому максимум (мінімум) цільової функції перебуває тільки серед безлічі припустимих альтернатив. Рішенням завдання оптимізації є деякий припустимий набір значень змінних, який доставляє максимальне або мінімальне значення цільової функції на безлічі припустимих альтернатив.
З урахуванням введених позначень загальна математична модель однокритеріального завдання оптимізації може бути записана символічно в наступному виді:
f(x,y,z) max або f(x,y,z) min , (1)