§ 4. Интегрирование рациональных дробей.

Итак, любая дробь может быть представлена в виде суммы многочлена и простейших дробей (в случае правильной дроби многочлен отсутствует). Значит, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов (интегралы от степенных функций) и простейших дробей.

Ниже приводятся два алгоритма интегрирования рациональных дробей.

Алгоритм 1.

а) Разложить знаменатель на простые множители.

б) Определить степени числителя и знаменателя, а также вид дроби: правильная или неправильная.

в) Представить дробь в виде суммы многочлена (если дробь неправильная) и простейших дробей в общем виде.

г) Определить коэффициенты разложения.

д) Проинтегрировать сумму многочлена и простейших дробей.

Алгоритм 2.

а) Представить дробь в виде суммы многочлена (если дробь неправильная) и правильной дроби при помощи деления многочленов.

б) Представить правильную дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

в) Определить коэффициенты разложения.

г) Проинтегрировать сумму многочлена и простейших дробей.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 4.1. Найти

– правильная дробь, знаменатель уже разложен на множители.

Разложим эту дробь на сумму простейших дробей.

Определим A и B.

при имеем значит,

при имеем то есть

Пример 4.2. Найти

Подынтегральная дробь правильная. Разложим знаменатель на множители , следовательно,

Пример 4.3. Найти

Подынтегральная дробь неправильная, так как степень числителя на единицу больше степени знаменателя.

Применим алгоритм 1. Разложение имеет вид:

Решение системы:

Находим интеграл:

Пример 4.4. Найти .

Подынтегральная функция представляет собой простейшую дробь 4-го типа. Ранее было показано, как взять такой интеграл с помощью рекуррентной формулы. В этом примере покажем иной способ интегрирования.

Выполним преобразования:

.

Второй интеграл возьмем по частям:

.

Примеры для самостоятельного решения.

№	Условие	Ответ
1
2
3

Приложение

Алгебраические выражения

;

;

Cвойства степеней

Логарифмы

( )

,

Литература

1. Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа. – СПб.: Специальная литература, 2000.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1984.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1. – М., 2004.

4. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.

Т. 1,2. – М.: Наука, 1996.

5. Письменный Дм. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс. –

М.: Айрис-Пресс, 2011.

6. Васильева Н.И., Непомнящая Е.Ю., Филиппова А.Ф. Неопределенный интеграл: Учебное пособие.– СПбГУКиТ. 2007.