11. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Обозначим число успехов в серии из испытаний Бернулли . Пусть , рассмотрим вероятность того, что число успехов в серии из n независимых испытаний попадает в интервал . Ясно, что

, где .

Трудности при вычислении возникают

1. при больших значениях n (n>>1);

2. при большой длине промежутка ( ;

3. при малых значениях р или q (0<p<<1 или 0<q<<1).

_Т-1_ (Теорема Пуассона)

Если и так, что , где , то при любом фиксированном ( 0,1,2,...) справедлива формула:

.

Доказательство: Обозначим .

Q.E.D.

NOTES: 1. При больших значениях n и малых p можно воспользоваться приближенной асимптотической формулой, которая следует из теоремы Пуассона:

(1)

, где .

2. Если р достаточно велико, то мало q, значит, можно пользоваться приближенной формулой для подсчета вероятности числа неудач в схеме Бернулли.

ПРИМЕР:

Какова вероятность того, что из 100 студентов ровно двое родились 22 апреля? В этой задаче успехом считаем событие А - студент родился 22 апреля.

Имеем 100 независимых испытаний, причем вероятность успеха, очевидно, равна (високосные годы не учитываем).

Итак, можно считать достаточно большим, а - достаточно малым числом. Воспользуемся формулой (1):

, где .

После соответствующих вычислений, получим, что искомая вероятность .

NOTE: Если величины р и q заметно отличны от 0 и 1, то формулу (1) использовать не следует. Для этого случая существуют локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Их строгая формулировка, а также доказательства достаточно сложны, поэтому приведем лишь приближенные формулы, следующие из этих теорем.

Т-2_ (Локальная теорема Муавра-Лапласа)

, где .

NOTES:

1. Функция четная, т.к.

1. Эта функция табулирована, то есть ее приближенные значения можно найти из специальных таблиц.

1. График функции называется нормальной или гауссовой кривой.

1. Как видно из графика функции , .

1. Величина достигает своего максимума при , т.е. приближается к своему максимуму при . Таким образом, равное ближайшему к целому числу, есть наивероятнейшее число успехов в серии из независимых испытаний. При этом .

_Т-3_(Интегральная теорема Муавра-Лапласа)

, где ,

, .

NOTES:

1. Функция называется функцией Лапласа.

2. Покажем, что нечетная функция. Действительно, ее область определения симметрична относительно 0, и .

3. Значения функции Лапласа также можно найти по таблицам, например, , , , .

Следствие: (Правило “трех сигм” в схеме Бернулли)

, где .

Доказательство: Действительно, при , , получим: , , а тогда .

Q.E.D.

NOTE: Правило “трех сигм” означает, что вероятность того, что число успехов в серии из n испытаний Бернулли отличается от np на величину большую , ничтожно мала.

ПРИМЕРЫ:

Для некоего игрока в гольф вероятность попадания в лунку при одном броске . Найти вероятность того, что из 100 попыток игрок попадет в лунку а) ровно 55 раз; б) не менее 55, но и не более 60 раз. Здесь мы имеем дело с серией из 100 испытаний Бернулли с вероятностью успеха . Число 100 будем считать достаточно большим, чтобы иметь право воспользоваться теоремами Муавра-Лапласа. В случае а) нам понадобится локальная, а в случае б) - интегральная теорема.

а) Имеем , где . .

б) , где , . .