6. Вероятность произведения n событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.

Для произведения двух событий формула вероятности произведения имеет вид:

(1)

Для произведения n событий докажем следующую теорему:

Т_

Здесь - вероятность того, что произошло событие при условии, что уже осуществились все события .

Доказательство: Воспользуемся методом математической индукции.

1. База для индукции. Пусть n=2. Тогда - известная формула.

2. Индукционное предположение. Пусть формула верна при n=k.

3).Индукционный переход. Докажем, что тогда формула верна и для n=k+1.

.

Таким образом, мы показали наличие базы для индукции и доказали законность индукционного перехода.

Q.E.D.

ПРИМЕР:

В урне находятся 15 белых и 10 черных шаров. Наудачу извлекаются 7 шаров. Какова вероятность того, что все они черные?

Пусть событие А - все шары черные.

Конечно, эту задачу можно решить по-старому, используя классическое определение вероятности:

.

Используем формулу вероятности произведения событий. Представим себе, что мы вытаскиваем шары по одному. Событие - i-й вынутый шар черный. Очевидно, . Воспользуемся формулой вероятности произведения:

Проверьте, что результаты совпадут.

Def События А₁, А₂,..., А_n называются попарно независимыми, если

P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j) при ij.

Def События А₁, А₂,..., А_n называются независимыми в совокупности, если

для любых комбинаций индексов 1£i_1<i₂<...<i_k£n.

NOTE: Очевидно, что из независимости в совокупности следует попарная независимость. Обратное утверждение, как показывает приведенный ниже пример, не является верным.

ПРИМЕР Бертрана: Приведем пример попарно независимых, но не являющихся независимыми в совокупности событий.

Пусть имеется правильный тетраэдр, раскрашенный следующим образом: три его грани однотонные и окрашены соответственно в красный, синий и зеленый цвета, а последняя грань раскрашена тремя этими цветами (см. рис.)

Один раз подбрасываем этот тетраэдр. Считается, что он с равной вероятностью может упасть любой гранью вниз. Введем в рассмотрение три события: R - на нижней грани есть красный цвет, G - на нижней грани есть зеленый цвет, B - на нижней грани есть синий цвет. Очевидно, что .

Событие RB, например, означает, что на нижней грани есть одновременно красный и синий цвет, т.е. тетраэдр упал трехцветной гранью вниз. Точно также мы можем рассматривать события RG, BG и RGB. Причем все они означают одно и то же, а именно, что тетраэдр упал трехцветной гранью вниз. Найдем вероятности всех перечисленных выше событий.

.

Нетрудно проверить, что . Аналогично проверяется, что и .

Таким образом, мы показали, что события R, G и B попарно независимы. Если бы они были независимыми в совокупности, то должно было бы выполняться и еще одно равенство:

, а оно не выполняется, т.к. .

_Т_ Если события независимы в совокупности, то

Эта теорема не нуждается в доказательстве, потому что это прямое следствие определения независимых в совокупности событий.