
- •Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет кафедра высшей математики
- •Теории вероятностей
- •Глава I . Вероятностное пространство. Случайные события.
- •Элементы комбинаторики.
- •Сколькими способами можно рассадить 8 человек на скамейку?
- •Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглый стол?
- •Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек 2-х студентов для участия в конференции?
- •Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек старосту и его помощника?
- •Сколько словарей нужно создать, чтобы переводить с любого из 5-ти языков: хинди, болгарского, японского, суахили и чувашского непосредственно на любой другой из этих 5-ти языков?
- •Вероятностное пространство (ap).
- •Пространство элементарных событий.
- •Алгебра событий a.
- •Вероятность события p.
- •Классическое определение вероятности.
- •Геометрические вероятности.
- •Задача о встрече
- •Условные вероятности.
- •Вероятность произведения n событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.
- •Формула полной вероятности.
- •Апостериорная оценка вероятности гипотезы. Формула Байеса.
- •Последовательность независимых испытаний, или испытания Бернулли.
- •Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Последовательность независимых испытаний, или испытания Бернулли.
|
Пусть производится серия из n испытаний, в каждом из которых событие А наступает с вероятностью P(A)=p>0. Событие А, за появлением которого мы наблюдаем, принято называть успехом, а противоположное ему событие - неудачей. |
Def Последовательность испытаний называется последовательностью независимых испытаний, или испытаниями Бернулли, если вероятность успеха в каждом испытании есть величина постоянная Р(А)=р>0 и не зависит
от номера испытания;
от результатов предыдущих испытаний.
ПРИМЕРЫ:
Производится n выстрелов по мишени (без пристрелки!). Успехом является событие А - поражение мишени.
Подбрасываем монету n раз. Успех - выпадение герба.
В семье 5 детей. Успехом будем считать рождение мальчика.
|
Найдем вероятность того, что в семье ровно 3 мальчика. Считается, что вероятность рождения мальчика равна 51%, а вероятность рождения девочки - 49%. Обозначим успех в данной серии из 5 испытаний (рождение мальчика) буквой М, а неудачу (рождение девочки) - буквой Д. |
Введем событие В - из 5-ти детей ровно 3 мальчика, а также вспомогательные события, выражающие последовательность появления детей:
В1=МММДД - три старших сына, и так далее аналогично
В2=ММДМД, В3=ММДДМ,..., Вm=ДДМММ.
Ясно, что, во-первых, В=В1+В2+...+Вm , во-вторых, события Вi, Bj несовместны при i¹j, и, в-третьих, т.к. рождение мальчиков или девочек - независимые в совокупности события, P(B1)=P(МММДД)=P(М)P(М)P(М)P(Д)P(Д)=(0,51)3(0,49)2.
Аналогично
вычисляются вероятности остальных
событий Вi,
причем все эти вероятности равны, так
как отличаются лишь порядком сомножителей.
Осталось выяснить, сколько таких событий,
или чему равно число
m.
Ответ очевиден - столько, сколько
существует различных 5-тибуквенных
слов, в которых 3 буквы М
и 2 буквы Д.
Вспомнив еще раз пример с абракадаброй
из параграфа 1, получим
.
Применяя
формулу вероятности суммы несовместных
событий, найдем
.
_Т_
Пусть
- вероятность успеха в серии из
испытаний Бернулли,
- вероятность неудачи,
- вероятность того, что в серии из
независимых испытаний успехов ровно
.
Тогда справедлива формула:
.
Доказательство проведите самостоятельно, используя предыдущий пример.
ПРИМЕР: (О вероятности хотя бы одного события в схеме Бернулли)
В семье 5 детей. Какова вероятность того, что хоть один из них мальчик?
Пусть событие F - в семье есть хотя бы один мальчик. Вероятность этого события можно искать двумя способами.
Способ
1:
,
где событие
- в семье ровно
мальчиков. Ясно, что события
попарно несовместны, так что можно
применить формулу вероятности суммы
несовместных событий. Получим:
,
где
=0,51
- вероятность рождения мальчика,
=0,49
- вероятность рождения девочки. Осталось
подставить значения и получить ответ.
Способ
2:
Задачу можно решить быстрее и с меньшим
риском ошибиться в подсчетах, если
воспользоваться противоположным
событием
- в семье мальчиков нет совсем.
.