4. Геометрические вероятности.

Классическое определение вероятности нельзя применить, если пространство элементарных событий , бесконечно.

Пусть замыкание непустой ограниченной области с кусочно-гладкой границей на плоскости или в пространстве. Тогда, как мы знаем, существует ненулевая мера Жордана области  (площадь, если  плоская область и объем, если  - область в пространстве). Меру Жордана в обоих случаях будем обозначать, как и прежде, .

Пусть A - система подмножеств , имеющих кусочно-гладкую границу. Проверьте самостоятельно, что A - алгебра.

A положим

(1)

Проверьте самостоятельно, что определенная этой формулой вероятность удовлетворяет требуемым аксиомам.

NOTE: Множества, имеющие нулевую меру Жордана, будем так же как и называть невозможными событиями. К ним относятся точки и кусочно-гладкие кривые. Вообще говоря, невозможное событие можно определить как событие, вероятность которого равна нулю.

ПРИМЕРЫ

Известно, что площадь Южной Америки составляет 17,8 млн. кв. км. Площадь Бразилии - 8,5 млн. кв. км. Случайным образом выбирается точка на карте Южной Америки. Какова вероятность того, что она попала на карту Бразилии (событие А)?

2. Задача о встрече

Два студента, назовем их Иван и Петр, договорились о встрече в интервале от 0 до 1 часа дня. Каждый из них приходит в любой момент названного интервала времени, ждет не более 15 минут и уходит, если не дождется другого. Найти вероятность того, что встреча состоится.

Пусть событие А - встреча состоялась. Найдем P(А).

Введем две величины:

х - время прихода Ивана;

у - время прихода Петра.

Тогда пространство элементарных событий .

Посмотрим, при каких значениях х и у встреча состоится. Возможны два варианта:

а) Иван пришел первым, т.е. , тогда встреча состоится, если ;

б) Петр пришел первым, т.е. , в этом случае встреча состоится, если .

В любом случае

.

Изобразим на чертеже плоскую область , множество А, а также найдем отношение их площадей.

Из рисунка видно, что =1, а .

5. Условные вероятности.

ПРИМЕР

Студент из 30 билетов выучил 1 - 3 и 28 -30. На экзамен он вошел 11-м. К этому моменту остались билеты 1 - 20. Найти вероятность того, что студент вытащит тот билет, который выучил.

Пусть событие В - студент получил билет, который выучил,

А - остались билеты 1 - 20. Пространство элементарных событий , где элементарный исход означает, что студент вытащил i-й билет. Тогда , . Если мы не знаем, что произошло событие А, то

,при дополнительной информации - произошло событие А - пространство элементарных исходов сужается до множества А.

ВА - событие, состоящее в том, что события А и В наступают одновременно, т.е. студент вытащил билет, который знает, из 20-ти оставшихся.

, .

Обозначим - вероятность события В при условии, что событие А произошло. В нашем примере ясно, что , а т.к. и , можно проверить, что .

Def Пусть (,A,P) - произвольное вероятностное пространство. События A,BA, причем P(A)>0. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло, называется величина, обозначаемая

P(B/A)=P(AB): P(A).

NOTE: Пусть зафиксировано событие АA, причем P(A)>0. Обозначим . Можно проверить, что условная вероятность удовлетворяет всем аксиомам вероятности, а следовательно для нее справедливы и все свойства вероятности.

Def События А и В называются независимыми, если

P(АВ)=P(А)P(В).

NOTE: Условие независимости двух событий можно записать, используя определение условной вероятности, в следующей форме: А,В независимы .

Это просто означает, что вероятность появления события А (или В) не зависит от того, осуществилось событие В (или А) или нет.