
- •Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет кафедра высшей математики
- •Теории вероятностей
- •Глава I . Вероятностное пространство. Случайные события.
- •Элементы комбинаторики.
- •Сколькими способами можно рассадить 8 человек на скамейку?
- •Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглый стол?
- •Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек 2-х студентов для участия в конференции?
- •Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек старосту и его помощника?
- •Сколько словарей нужно создать, чтобы переводить с любого из 5-ти языков: хинди, болгарского, японского, суахили и чувашского непосредственно на любой другой из этих 5-ти языков?
- •Вероятностное пространство (ap).
- •Пространство элементарных событий.
- •Алгебра событий a.
- •Вероятность события p.
- •Классическое определение вероятности.
- •Геометрические вероятности.
- •Задача о встрече
- •Условные вероятности.
- •Вероятность произведения n событий. Попарная независимость и независимость в совокупности.
- •Формула полной вероятности.
- •Апостериорная оценка вероятности гипотезы. Формула Байеса.
- •Последовательность независимых испытаний, или испытания Бернулли.
- •Предельные теоремы в схеме Бернулли.
Вероятность события p.
Def Числовая функция P(А), заданная на классе событий A, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:
A-1 A - алгебра событий.
А-2 "AÎA P(A)³0
A-3 P(W)=1
A-4 (аксиома конечной аддитивности) Если события А и В несовместны, т.е. AB=Æ, то P(A+B)=P(A)+P(B).
Def Тройка (, A, P), где - пространство элементарных событий, A - алгебра событий, а P - определенная на этой алгебре вероятность, называется вероятностным пространством.
Свойства вероятности:
- формула вероятности суммы
Доказательство:
Т.к.
, , то по аксиоме А-4 имеем:
,
Если А и В несовместны, то формула вероятности суммы событий следует из аксиомы конечной аддитивности. Пусть А и В совместны.
|
|
Докажем, что
A
. По аксиоме А-2 мы знаем, что
,а так как
A, значит и
. По свойству 1.
.
|
Покажем,
что
Q.E.D.
|
NOTE: Для суммы трех произвольных событий можно доказать следующую формулу:
.
Докажите эту формулу самостоятельно,
а также обобщите теорему о вероятности
суммы событий на случай произвольного
конечного числа событий.
Классическое определение вероятности.
Пусть
-
пространство элементарных событий,
число элементов которого конечно и
равно n.
A - алгебра событий, содержащая все 2n подмножеств множества .
Рассмотрим
произвольное событие
A.
где
.
В
классическом определении вероятности
полагают, что все элементарные исходы
равновероятны, т.е.
,
.
Так
как
,
причем элементарные исходы несовместны,
то по аксиоме конечной аддитивности
(которую можно с помощью метода
математической индукции распространить
на любую конечную сумму несовместных
событий) получим:
Введем обозначение:
-
число элементов множества
.
-
число элементов множества
.
Def Классической вероятностью события А называют число, равное отношению числа элементарных событий, вызывающих появление события А, к общему числу элементарных исходов эксперимента.
(1) |
|
Проверим, что вероятность, задаваемая соотношением (1), удовлетворяет аксиомам вероятности.
А-1 A - алгебра событий - по определению классической вероятности.
А-2
Очевидно,
.
А-3
.
А-4
Если события А
и
В
несовместны,
т.е.
,
а тогда
.
Таким образом, функция P(A), определенная на алгебре событий соотношением (1), действительно является вероятностью.
ПРИМЕРЫ:
1.
|
Монета подбрасывается один раз. Элементарные исходы - выпадение герба или решетки - считаем равновероятными. = |
2.
|
В урне находится 5 белых и 6 черных шаров. Наудачу из урны достают 7 шаров. Какова вероятность того, что из них ровно 4 черных?
-
множество всевозможных исходов. Пусть
|
3
белых шара можно выбрать из 5 имеющихся
способами, а 4 черных из 6 выбираем
способами. Таким образом,
.
По формуле (1) получаем, что
.