3. Вероятность события p.

Def Числовая функция P(А), заданная на классе событий A, называется вероятностью, если выполнены следующие аксиомы:

A-1 A - алгебра событий.

А-2 "AÎA P(A)³0

A-3 P(W)=1

A-4 (аксиома конечной аддитивности) Если события А и В несовместны, т.е. AB=Æ, то P(A+B)=P(A)+P(B).

Def Тройка (, A, P), где - пространство элементарных событий, A - алгебра событий, а P - определенная на этой алгебре вероятность, называется вероятностным пространством.

Свойства вероятности:

1. 

1. 

1. - формула вероятности суммы

1. 

1. 

Доказательство:

1. Т.к. , , то по аксиоме А-4 имеем:

,

2. 

3. Если А и В несовместны, то формула вероятности суммы событий следует из аксиомы конечной аддитивности. Пусть А и В совместны.

, причем события и несовместны. , причем события и также являются несовместными. Пользуясь два раза аксиомой конечной аддитивности, получим:

4. Докажем, что A . По аксиоме А-2 мы знаем, что ,а так как A, значит и . По свойству 1. .

Покажем, что A: Имеем: , причем события и несовместны. Тогда по аксиоме конечной аддитивности . Q.E.D.

NOTE: Для суммы трех произвольных событий можно доказать следующую формулу:

. Докажите эту формулу самостоятельно, а также обобщите теорему о вероятности суммы событий на случай произвольного конечного числа событий.

3. Классическое определение вероятности.

Пусть - пространство элементарных событий, число элементов которого конечно и равно n.

A - алгебра событий, содержащая все 2ⁿ подмножеств множества .

Рассмотрим произвольное событие A.

где .

В классическом определении вероятности полагают, что все элементарные исходы равновероятны, т.е. , .

Так как , причем элементарные исходы несовместны, то по аксиоме конечной аддитивности (которую можно с помощью метода математической индукции распространить на любую конечную сумму несовместных событий) получим:

Введем обозначение:

- число элементов множества .

- число элементов множества .

Def Классической вероятностью события А называют число, равное отношению числа элементарных событий, вызывающих появление события А, к общему числу элементарных исходов эксперимента.

(1)

Проверим, что вероятность, задаваемая соотношением (1), удовлетворяет аксиомам вероятности.

А-1 A - алгебра событий - по определению классической вероятности.

А-2 Очевидно, .

А-3 .

А-4 Если события А и В несовместны, т.е. , а тогда .

Таким образом, функция P(A), определенная на алгебре событий соотношением (1), действительно является вероятностью.

ПРИМЕРЫ:

1.

Монета подбрасывается один раз. Элементарные исходы - выпадение герба или решетки - считаем равновероятными. = , при этом .

2.

В урне находится 5 белых и 6 черных шаров. Наудачу из урны достают 7 шаров. Какова вероятность того, что из них ровно 4 черных?  - множество всевозможных исходов. Пусть , - из данных 11 шаров выбрали 7. Это можно сделать способами, т.е. . Событие А - среди выбранных шаров ровно 4 черных. Остается подсчитать сколькими способами из 6 черных и 5 белых шаров можно выбрать 4 черных и 3 белых.

3 белых шара можно выбрать из 5 имеющихся способами, а 4 черных из 6 выбираем способами. Таким образом, . По формуле (1) получаем, что

.