1. Сколькими способами можно рассадить 8 человек на скамейку?

2. Сколькими способами можно рассадить 8 человек за круглый стол?

В первой задаче ответ очевиден. Речь идет о количестве перестановок из 8 элементов, т.е. 8 человек на скамейке можно пересаживать 8! различными способами.

Что касается второй задачи, то она отличается от предыдущей тем, что у круглого стола, как известно, нет краев. Представим себе, что мы выбрали одного конкретного человека и посадили его за стол, а далее начинаем различными способами пересаживать оставшиеся 7 человек. Сколькими способами это можно сделать? Да, конечно же, 7! способами.

3. Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек 2-х студентов для участия в конференции?

1. Сколькими способами можно выбрать из группы в 12 человек старосту и его помощника?

В первом случае мы выбираем 2-х человек из 12, которые будут выполнять одинаковые обязанности - они просто вместе пойдут на конференцию. Число способов будет . Во втором случае выбираемые нами студенты будут выполнять разные функции, т.е. можно считать, что староста является в этой двойке лицом №1, а его заместитель - №2. Таким образом, речь идет об упорядоченном 2-х элементном подмножестве множества из 12 элементов, а таких подмножеств .

Рассмотрим пару более сложных задач.

5. Сколько словарей нужно создать, чтобы переводить с любого из 5-ти языков: хинди, болгарского, японского, суахили и чувашского непосредственно на любой другой из этих 5-ти языков?

Из условия задачи ясно, что нам понадобятся словари типа хинди - болгарского и болгарско - хинди и т.д. Обозначим хинди -болгарский словарь упорядоченной парой букв ХБ, а болгарско - хинди словарь - БХ. Таким же образом поступим с другими необходимыми нам словарями. Задача свелась к следующей: имеется множество, состоящее из 5 букв: {Х,Б,Я,С,Ч}. Сколько из них можно составить различных упорядоченных пар? Ответ: .

6. Сколькими способами можно прочесть слово ABRACADABRA,

н ачиная c верхней буквы и кончая нижней. При этом каждая следующая буква должна находиться непосредственно под предыдущей (см. рисунок).

Один из возможных путей отмечен на рисунке. При этом, если каждый поворот направо обозначить буквой П, а каждый поворот налево - буквой Л, то получится, что пройденный путь можно записать при помощи этих букв следующим образом: ЛПЛЛЛПППЛП. Любой другой путь можно записать аналогичным образом. Легко заметить, что в каждой такой записи ровно 5 букв Л и 5 букв П. Причем по любому такому слову можно однозначно указать путь. Остается определить, сколько существует таких “слов”, или, по-другому, сколькими способами можно выбрать 5 мест из 10, на которые мы поставим букву Л, а остальные 5 мест займет, естественно, буква П. Ответ понятен - способа.

Свойства сочетаний.

Сочетания обладают рядом интересных свойств.

1.

2.

Эти свойства можно доказывать двумя способами: либо использовать формулу для подсчета числа сочетаний (предоставляем это читателю), либо при помощи здравого смысла.

Действительно, выбирая k элементов из n, мы просто делим множество на две части: те k элементов, которые мы взяли и n-k элементов, что мы оставили. Очевидно, что число способов взять или оставить одинаково .

Чтобы доказать второе свойство сочетаний, зафиксируем один из элементов данного n-элементного множества. Заметим, что сочетания из k элементов бывают двух сортов: либо они содержат выбранный нами элемент (таких сочетаний ), либо не содержат его ( способов). Остается сложить эти две величины и получить общее число способов выбора из n элементов k. .

Из приведенных выше свойств следует знаменитый треугольник Паскаля.

3. Если числа сочетаний записать в виде треугольника в следующем виде:

............

После подстановки численных значений получится:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

...............

По сторонам треугольника стоят единицы, а каждое число внутри треугольника является суммой двух чисел, стоящих непосредственно над ним.

4. Пользуясь числами сочетаний, выведем формулу бинома Ньютона .

Вспомним формулу квадрата суммы:

Рассуждая аналогичным образом для n-ой степени, (не переставляя сомножители!) получим сумму всевозможных слагаемых, каждое из которых представляет n-буквенное слово, составленное из букв a и b. При этом слагаемых, в которых k букв a и n-k букв b (вспомните пример с абракадаброй), ровно штук. А каждое такое слагаемое равно . Таким образом, получим:

.

5. Пользуясь биномом Ньютона, приняв a=b=1, получим

, т.е. число всех подмножеств

n-элементного множества равно 2ⁿ.