Санкт-Петербургский Государственный Политехнический Университет кафедра высшей математики

Лагунова М.В.

Конспект лекций

по

Теории вероятностей

для студентов II курса

механико-машиностроительного факультета СПбГТУ

(часть I)

Санкт-Петербург 1997 г.

Глава I . Вероятностное пространство. Случайные события.

1. Элементы комбинаторики.

Комбинаторика - раздел элементарной математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. [Энциклопедический словарь юного математика].

Пусть B - конечное множество, состоящее из n различных элементов. Комбинаторика изучает вопрос о том, какого типа соединения можно составить из этих элементов и сколько таких соединений. Рассмотрим три основных типа соединений: перестановки, размещения и сочетания.

1.Перестановки из n элементов - всевозможные упорядоченные множества, составленные из данных n элементов.

Число перестановок из n элементов обозначается .

ПРИМЕР Пусть множество B состоит из трех цифр: . Какие перестановки мы можем составить? Сколько их?

123	213	312
132	231	321

Две различные перестановки отличаются лишь порядком вхождения элементов множества B. Легко заметить, что .

Помня о приведенном выше примере, выведем формулу для вычисления числа перестановок из n элементов.

Итак, элемент, стоящий на первом месте, можно выбрать из данных n элементов, очевидно, n способами. Если первый элемент уже выбран, то следующий за ним - второй - мы можем выбрать из оставшихся (n-1)-го элементов, естественно, (n-1)-м способом. А так как каждому выбору первого элемента перестановки соответствуют все возможные способы выбора второго элемента, для выбора первой пары элементов получим способ. Продолжая дальше в том же духе, получим:

2.Размещения из n элементов по k - всевозможные упорядоченные k-элементные подмножества данного n-элементного множества.

Число размещений из n по k обозначается .

ПРИМЕР Множество . Составим всевозможные размещения из 4-х элементов данного множества по 2.

12	21	31	41
13	23	32	42
14	24	34	43

Как видно из приведенного примера, различные размещения могут отличаться как порядком входящих в них элементов так и самими элементами. Легко подсчитать, что .

Выведем общую формулу для подсчета числа .

Имеется k порядочных мест, или разрядов, на которые мы должны поставить элементы, выбранные произвольно из данных n элементов. Эту процедуру удобно представить в виде таблицы:

1	2	3	...	k-2	k-1	k
n	n-1	n-2	...	n-(k-3)	n-(k-2)	n-(k-1)

Здесь в первой строке обозначен порядковый номер входящего элемента, а в нижней - число способов, которыми мы этот элемент можем выбрать из оставшихся к данному моменту. При помощи рассуждений, которые мы приводили при выводе числа перестановок, получаем, что

3.Сочетания из n элементов по k - всевозможные k-элементные подмножества данного n-элементного множества.

Число сочетаний из n по k обозначается .

Сравните определения сочетаний и размещений.

ПРИМЕР Пусть по-прежнему множество , выпишем всевозможные сочетания из этих 4-х элементов по 2:

12

13

14

23

24

34

Два различных сочетания отличаются лишь входящими в них элементами, при этом легко подсчитать, что . Таблица же для подсчета содержит лишь одну строку.

Выведем общую формулу для подсчета числа сочетаний.

Ясно, что сочетаний из n элементов по k меньше, чем размещений из n элементов по k, ровно во столько раз, сколькими способами можно переставить эти k элементов, то есть . Из этой формулы следует, что

П Р И М Е Р Ы

При решении комбинаторных задач очень важно уметь определять типы соединений. Решим несколько задач.