4. Приемы анализа рядов динамики

Сравнительный анализ рядов динамики одноименных величин. Часто возникает за­дача сравнительного анализа нескольких рядов динамики, для того чтобы выяснить, какое явление развивается быстрее или в каких странах (или рай­онах) быстрее развивается то или иное произ­водство. Методология сравнитель­ного анализа будет различна, сравниваем ли мы развитие одно­именного явле­ния в разных странах или районах или развитие разных взаимо­связанных явлений в пре­делах одного региона.

Приведение рядов динамики к общему основанию. Если произ­водится срав­нительный ана­лиз рядов динамики разных явлений, то сравнивать можно только относительные показатели. Для этого обычно исчисляют базисные темпы дина­мики к какой-то единой базе сравнения (к единому году). Этот прием называется приведе­нием рядов динамики к общему основанию, или к общей базе сравнения.

Таблица 10.12

Объем производства промышленной продукции в СССР и США (в процентах к 1950 г.)

Год	Вся промышлен­ность-		Производство элек­троэнергии		Машиностроение и металлообработка		Пищевая промышлен­ность
	СССР	США	СССР	США	СССР	США	СССР	США
1950	100	100	100	100	100	100	100	100
1965	458	199	555	299	757	228	334	157
1970	689	238	812	424	1322	268	442	188
1975	987	253	1 138	514	2282	281	568	210

5. Выявление основной тенденции динамики

Сглаживание рядов динамики скользящей средней. Рассмот­рим сглажива­ние динамиче­ского ряда с помощью скользящей средней.

Таблица 10.13

Сварка газопровода в сентябре

Число	Фактические данные, м	Сглаженные по пятиднев­кам, Число		Фактические данные, м	Сглаженные по пяти­дневкам, и
1	2010	—	16	1900	2135,2
2	2025	—	17	2280	2157,6
3	2042	1989,4	18	2300	2232,0
4	1910	2007,6	19	2342	2324,2
5	1960	2012,6	20	2338	2337,2
6	2101	2030,2	21	2361	2353,6
7	2050	2078,6	22	2345	2361,6
8	2130	2107,2	23	2382	2372,0
9	2152	2103,0	24	2382	2389,8
10	2103	2131,6	25	2390	2405,5
11	2080	2146,4	26	2 450	2422,8
12	2 193	2162,0	27	2424	2446,4
13	2204	2134,6	28	2468	2469,2
14	2230	2098,6	29	2500	—
15	1 966	2116,0	30	2504	—

Возьмем приведенный раньше пример с данными о суточной свар­ке труб газо­провода в сен­тябре. Будем сглаживать этот ряд сред­ними по пятидневкам. Для этого исчислим сначала показа­тель среднесуточной сварки труб за первые пять дней. Она равна: 1989,4 м ( 2010 +2025 +2042 +1910 + 1960) / 5 и т. п.

Аналитическое выравнивание ряда динамики по прямой. Ана­литическое выравнивание ряда динамики имеет задачу найти плавную линию развития (тренд) данного явления, характери­зующую основную тенденцию его динамики.

В данном курсе рассмотрим, как производится вы­равнивание ряда динамики по прямой ли­нии.

Как известно, уравнение прямой линии может быть выражено следующей формулой:

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы фактические уровни ряда динамики (у) заме­нить теоретическими уровнями (у_t), исчисленными на основании приведенного выше уравнения. Задачу эту решают с помощью известного в математике способа наименьших квадратов. Логи­ческий смысл этого способа заключается в том, что вычисленная прямая, выравнивающая ряд, дол­жна проходить в макси­мальной близости к фактическим уровням ряда. На языке математики это значит, что сумма квадратов от­клонений (разность между фактическими уровнями и теоре­тиче­скими уровнями) должна быть наименьшей.

Способ наименьших квадратов дает систему двух нормальных уравнений для нахождения параметров а_о и а₁ ис­комой прямой линии.

Эта система нормальных уравнений следующая:

Так как в рядах динамики значения 1 являются показателями времени (дни, месяцы, годы и т.д.), то всегда можно им придать такое значение, чтобы их сумма была равна нулю.

Например, приведенный раньше ряд динамики, характеризую­щий сварку труб газопровода в сентябре, содержит 30 членов ряда соответственно 30 числам сентября. Можно условно обо­зна­чить первые 15 дней таким образом: —29, —27, —25, —23 и т.д. до —1, а вторые 15 дней так: 1, 3, 5 и т.д. до 29. Если бы было нечетное число членов ряда, то серединный член ряда мы обозна­чили бы 0, а по обе стороны от него имели бы —1, —2, —3 и т. д. и 1, 2, 3 и т.д.

Если у нас t = 0, то написанные выше уравнения принимают вид:

Определив параметры а_о и а₁ легко вычислить теоретические уровни, т. е. ординаты точек, искомой прямой у{.

Покажем весь расчет на примере с данными о сварке труб газо­провода в сентябре, который был приведен раньше. Для простоты исчисления возьмем только первые 15 дней месяца (табл. 10.14).

Таблица 10.14

Расчетная таблица для выравнивания ряда динамики по прямой

Числа сен­тября	Фактические уровни, у	Условные числа сен­тября, t	Условные уровни (у - 2000 = уt)	t2	yt	yt
1	2010	-7	10	49	-70	1994
2	2025	-6	25	36	—150	2006
3	2042	—5	42	25	—210	2018
4	1910	—4	—90	16	360	2029
б	1960	—3	—40	9	120	2041
6	2101	-2	101	4	—202	2053
7	2050	—1	50	1	-50	2065
8	2130	0	130	0	0	2077
9	2152	1	152	1	152	2089
10	2103	2	103	4	206	2101
11	2080	3	80	9	240	2113
12	2193	4	193	16	772	2125
13	2204	5	204	25	1020	2136
14	2230	6	230	36	1 380	2148
15	1966	7	—34	49	—238	2160
	31 156	0	+1320	280	+4250	31 155
			—164		-920
			1 156		3330

2 сентября (t = -6) : y2 = 2077 - 11,89 • 6 = 2077 - 71 = 2006 и т. д.

Интерполяция и экстраполяция. Выравниванием рядов дина­мики пользу­ются также для того, чтобы найти значение недоста­ющего члена ряда. Такой спо­соб называется интерполяцией рядов динамики.

Другой прием, основанный на выравнивании рядов динамики, называется экс­траполяцией ря­дов динамики. Этот прием заклю­чается в том, что, продолжая най­денные математические кривые, тем самым мы как бы предсказываем дальнейшее развитие явлений.