5.42. Простейший поток сообщений.

Р ассмотрим СМО аппарата. Это является примером простейшего потока сообщений.

З аявки по обслуживанию поступают с интенсивностью λ. Интервалы а₁(t), а₂(t)… интервалы между заявками одинаковы и задаются плотностью а(t)= λе^-λt, b(t)=μe^-μt, где t≥0.

состояния: i=0-в системе нет

о бслуживаемых заявок, i=1-в

системе обслуживается 1

вход. Вых. заявка. Если заявка

поток поток приходит, когда система

занята, то заявка пропадает.

граф переходов.

Вероятности:

p₀(t), p₁(t)~ p₀(t)+ p₁(t)=1.

Пусть в некоторый момент времени t вероятности p₀(t) и p₁(t) известны. Зная эти вероятности попытаемся определить p₀(t+∆), p₁(t+∆), где ∆-достаточно малая величина.

Соотношения для вероятностей: p₀(t+∆)= p₀(t)(1+∆λ)+ p₁(t)μλ(1+∆λ); p₁(t+∆)= p₁(t)(1+∆λ)+ p₀(t)∆λ.

p₀(t+∆)- p₀(t)/∆=p₀(t)λ/∆ +p₁(t)μλ(1+∆λ)/∆ => d/dt p₀(t)= p₀(t)λ+p₁(t)μ (Ур-ние Колмагорова-Чепмена) => d/dt p₀(t)=p₀(t)λ+(1- p₀(t))μ. СМО. Это также является простым потоком сообщений, но здесь добавляется очередь, т.е., когда система занята и приходит заявка, то она становится в очередь и только если очередь занята, она пропадает. Эта очередь рассчитана на 1 заявку.

По этому графу можно записать систему уравнений:

λp₀=p₁μ

(λ+μ)p₁=μp₂+λp₀

p₂= λp₁

5.43. Распределение времени обработки.

К элементарным системам массового обслуживания(СМО) относят такие системы с очередями, в которых процессы поступления заявок является пуассоновским, а обслуживание определяется показательным законом. λ-интенсивность поступления заявок. Измеряется [1/ед.времени]. μ-интенсивность обслуживания. Измеряется [1/ед.времени]^-1.

Время обработки распределено со следующей плотностью:

b(t)= μe^-μt , t≥0

0 , t<0

b=1/μ – среднее время обработки.

5.44. Уравнения Колмагорова – Чепмена.

Рассмотрим процессы развивающиеся в непрерывном времени. Множество состояний, в которых может находиться процесс, остается дискретным. в первую очередь нас интересуют вероятности нахождения процесса в заданном состоянии в некоторый выбранный момент времени. t-непрерывное время, S-множество состояний, i=0,1,… принадлежит S, p_i(t)-вероятности нахождения процесса в состоянии i.

Для определения вероятности p_i(t) составляют дифференциальные уравнения. Эти диф. уравнения называются уравнения Колмагорова(или Колмагорова-Чепмена). Для определения вероятностей необходимо составить граф переходов и далее, предполагая, что вероятности переходов зависят только от текущего состояния, нужно определить их. После чего, поочередно рассматривая состояния составить систему уравнений. Рассмотрим СМО аппарата.

Заявки по обслуживанию поступают с интенсивностью λ. Интервалы а₁(t), а₂(t)… интервалы между заявками одинаковы и задаются плотностью

а(t)= λе^-λt, b(t)=μe^-μt, где t≥0.

с остояния: i=0-в системе нет обслуживаемых заявок, i=1-в системе вход. Вых. обслуживается 1 заявка.

граф переходов.

Вероятности: p₀(t), p₁(t)~ p₀(t)+ p₁(t)=1.

Пусть в некоторый момент времени t вероятности p₀(t) и p₁(t) известны. Зная эти вероятности попытаемся определить p₀(t+∆), p₁(t+∆), где ∆-достаточно малая величина.

Соотношения для вероятностей: p₀(t+∆)= p₀(t)(1+∆λ)+ p₁(t)μλ(1+∆λ); p₁(t+∆)= p₁(t)(1+∆λ)+ p₀(t)∆λ.

p₀(t+∆)- p₀(t)/∆=p₀(t)λ/∆ +p₁(t)μλ(1+∆λ)/∆ => d/dt p₀(t)= p₀(t)λ+p₁(t)μ (Ур-ние Колмагорова-Чепмена) => d/dt p₀(t)=p₀(t)λ+(1- p₀(t))μ.