5.45. Полный и сокращенный графы состояний.

Полный граф смены состояний (ПГСС)

сокращенный граф смены состояний(СГСС)

Для вычисления вероятностей используется СГСС. В полном графе над дугами записаны интенсивности. В качестве ∆-малая величина времени.

СГСС получается из полного: не показываются дуги перехода состояния само в себя. Над оставшимися записываются интенсивности без значка ∆. По этому графу можно записать систему ур-нений:

λp₀=p₁μ

(λ+μ)p₁=μp₂+λp₀

μp₂= λp₁

в левой части записываются вероятности соответствующих состояний. Эти вероятности умножаются на сумму интенсивностей переходов в соседние состояния. В правой части записывается сумма вероятностей нахождения системы в состояниях, умноженных на интенсивности переходов из соседнего состояния в рассматриваемое.

5.46 Правило записи уравнений для финальных вероятностей состояний

В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак «минус»; если в состояние — знак «.плюс». Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. К примеру,

5.47 Средние времена пребывания и ожидания

4.48. Смо с простейшим входным потоком, экспоненциальным обслуживанием и очередью ограниченной длины.

λ

Рассмотрим СМО с экспоненциальным, поступлением, экспоненциальным обслуживанием и очередью на m сообщений. Сокращенный граф состояний:

Составим систему для нахождения финальных вероятностей:

λp₀=p₁µ

(λ+µ)p₁=µp₂+λp₀

(λ+µ)p₂=µp₃+λp₁

...

(λ+µ)p_k=µp_k+1+λp_k-1

...

µp_m+1=λp_m

4.49. Смо с простейшим входным потоком, экспоненциальным обслуживанием и очередью без ограничений длины.

Рассмотрим СМО с экспоненциальным, поступлением, экспоненциальным обслуживанием и очередью на m сообщений при m->∞

Такая система называется системой без потерь.

p_k=ρ^k(1-ρ)

где ρ – загрузка системы. ρ=λ/µ

В системе без потерь при ρ->1 p_k -> 0 для любого k.

Среднее число сообщений в системе:

Q = _k=1Σ^m+1 k p_k * (1- ρ)/(1- ρ^m+2) = (1- ρ)/(1- ρ^m+2) * _k=1Σ^m+1 k ρ^k

_k=1Σ^m+1 k ρ^k = ρ _k=1Σ^m+1 d/dk ρ^k = ρ d/dk _k=1Σ^m+1 ρ^k = ρ d/dk _k=0Σ^m ρ^k

_k=0Σ^m ρ^k = _k=0Σ^∞ ρ^k - _k=m+1Σ^∞ ρ^k = 1/(1-ρ) – ρ^m+1/(1-ρ)

Q = ρ d/dk (1/(1-ρ) – ρ^m+1/(1-ρ)) * ((1- ρ)/(1- ρ^m+2))

4.50. Смо с простейшим входным потоком, m обслуживающими аппаратами, экспоненциальным обслуживанием и очередью ограниченной длины.

Систему с несколькими обслуживающими аппаратами возможно представить в виде одного из следующих вариантов:

1) 2)

Предпочтительней использовать первую систему, т. к. у нее меньшее время ожидания.

Составим для первой системы сокращенный граф состояний и систему уравнений

i – состояние системы

i = 0 – система пуста

i = 1, … m – i сообщений в системе, в очереди нет ни одного сообщения

m+k ≥ i > m – в очереди есть (i-m) сообщений

i = m+k – сообщения теряются

m

0

0

0

p₀ = µp₁

p₁(λ+µ) = p₀λ+2µp₂

...

p_k(λ+kµ) = p_k-1*λ+p_k+2*(k+1) µ

...