4.38 Задача о лягушке и кувшинках

О коло пруда сидит лягушка, вокруг кувшинки. Вектор начальных состояний передает состояние того, что лягушка прыгнет на кувшинку n. Матрица pi{pii,j} задает прыжок лягушки с кувшинки i на кувшинку j.

- вероятность выбора состояния. Такие матрицы называются стохастическими. Матрица pi в теории Марковских процессов называется матрицей переходов. Если у матрицы сумма столбцов также =1, то матрица называется дважды стохастической. Для Марковских цепей важным является вопрос о вероятностях состояния цепи после k-того перехода.

4.39 Уравнения для моментов длительностей времени переходов. Формулу преобразования Лапласа времени продвижения процесса из состояния i в состояние j можно использовать для вычисления мат. ожидания.

Второй момент:

5.40. Общие соотношения для смо.

К элементарным системам массового обслуживания(СМО) относят такие системы с очередями, в которых процессы поступления заявок является пуассоновским, а обслуживание определяется показательным законом.

Свойства экспоненциального распределения: 1. Обладает отсутствием последействия.

2. св-во ординарности. В один момент времени в потоке событий, распределенных экспоненциально, два события произойти не могут.

Рассмотрим СМО аппарата.

З аявки по обслуживанию поступают с интенсивностью λ. Интервалы а₁(t), а₂(t)… интервалы между заявками одинаковы и задаются плотностью а(t)= λе^-λt, b(t)=μe^-μt, где t≥0.

состояния: i=0-в системе нет вход. Вых. обслуживаемых заявок, i=1-в поток поток системе обслуживается 1 заявка

граф переходов.

Вероятности: p₀(t), p₁(t)~ p₀(t)+ p₁(t)=1.

пусть в некоторый момент времени t вероятности p₀(t) и p₁(t) известны. Зная эти вероятности попытаемся определить p₀(t+∆), p₁(t+∆), где ∆-достаточно малая величина. Примечание: (по св-ву 1) φ(t+∆)-φ(t)=Ωе^-Ωt, где Ω-показатель показательного распределения. Пусть ∆-малая величина. Рассмотрим процесс поступления заявок. За ∆ в систему могло поступить 0,1,2…n,n+1... заявок. π_n(∆)- вероятность поступления в систему π за время ∆ n-заявок. отсюда: π_n(∆)=(∆λ)ⁿе^-λ∆/n! => π₀(∆)=е^-λ∆=(1+∆λ+(∆λ)²/2!+…); π₀(∆)=е^-λ∆∆λ=∆λ(1+∆λ+(∆λ)²/2!+…)=∆λ+О(∆²); О(∆)-нотация, показывает величину такую, что lim О(∆)/∆=0, где ∆->0

Соотношения для вероятностей: p₀(t+∆)= p₀(t)(1+∆λ)+ p₁(t)μλ(1+∆λ); p₁(t+∆)= p₁(t)(1+∆λ)+ p₀(t)∆λ.

p₀(t+∆)- p₀(t)/∆=p₀(t)λ/∆ +p₁(t)μλ(1+∆λ)/∆ => d/dt p₀(t)= p₀(t)λ+p₁(t)μ (Ур-ние Колмагорова-Чепмена) => d/dt p₀(t)=p₀(t)λ+(1- p₀(t))μ.

5.41. Формулы Литтла.

К элементарным системам массового обслуживания(СМО) относят такие системы с очередями, в которых процессы поступления заявок является пуассоновским, а обслуживание определяется показательным законом.

Формулы Литтла связывают среднюю длину очереди и среднее время пребывания заявок в системе. ρ= λ/μ – загрузка системы

q_s=t * λ= λ(f+1/μ)=q+ρ

f* λ=q

t-среднее время пребывания в системе(ожидание+обработка) , q-число заявок в системе

f-среднее время ожидания, q-число заявок в очереди. Загрузка системы: общее время занятости к общему времени функционирования.

Формулы Литтла показывают, что при ρ→1 длины очередей→ ∞.