1.12 Дискретные с.В.
Поведение случайной величины определяется ее распределением, средним значением и разбросом относительно этого среднего значения. Случайная величина - величина, измеряемая в исследуемых экспериментах, исходы которых заранее неизвестны и зависят от случайных причин. Дискретная принимает конечное или счетное множество значений; задается законом распределения, который позволяет установить вероятность любого возможного значения случайной величины: P(X=xk) = pk
Случайная величина называется дискретной в том случае, если в результате вероятностного эксперимента она может принимать конечное или счетное множество значений. Каждой д. с. в. можно поставить в соответствие некоторую вероятность. Эта вероятность определяется появлением соответствующего значения в результате однократного проведения эксперимента.
1.12 – 1.13 ДСВ. Закон и функция распределения.
Случайная величина называется дискретной в том случае, если в результате вероятностного эксперимента она может принимать конечное или счетное множество значений. Каждой д. с. в. можно поставить в соответствие некоторую вероятность. Эта вероятность определяется появлением соответствующего значения в результате однократного проведения эксперимента.
Пусть проводятся
серии из n
испытаний, в результате событие А
появляется с вероятностью r,
В с вероятностью (r-1)
по схеме Бернулли. Тогда вероятность
того, что Pn(Ak)
(в n
испытаниях А появится к раз):
Распределение с. д. в. Ак называется биномиальным, поскольку совпадает с членами разложения бинома Ньютона.
Распределение Пуассона.
Пусть мы проводим
n
испытаний по схеме Бернулли. Пусть
вероятность успеха в одном испытании
есть р. Будем считать, что p*n=л
(л-лямбда) постоянная величина. При n->
к бесконечности вероятность того, что
во всей цепочке испытаний встретится
к успехов задается формулой Бернулли.
1.14 Непрерывные с.В.
Случайная величина - величина, измеряемая в исследуемых экспериментах, исходы которых заранее неизвестны и зависят от случайных причин.
При переходе к непрерывным случайным величинам, мы наталкиваемся на факт, что в результате испытания возникает событие, вероятность которого равна 0. Для описания таких событий вводится понятие плотность распределения. Непрерывная с.в. принимает все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка; характеризуется плотностью вероятности (плотностью распределения) f(x) - непрерывной функцией, позволяющей вычислить вероятность попадания величины X на интервал (a,b).
1.14 – 1.16 НСВ. Функция распределения. Плотность распределения.
При переходе к непрерывным случайным величинам, мы наталкиваемся на факт, что в результате испытания возникает событие вероятность которого равна 0. Для описания таких событий вводится понятие плотность распределения. Плотность распределения случайной величины обозначается p(x).
Пусть окружность, поделенная на N секторов, падает на ось Х. Вероятность того, что внизу окажется сектор i есть pi. pi->0 при N->бесконечн.
Введем в рассмотрение интегральный закон (функция распределения)
F(x)=Prob(i<=x)
p(x+∆)=F(x+∆)-F(x)
Это есть вероятность попадания окружности на участок от x до х+∆
Плотность распределения:
p(x)=lim∆ ->0 F(x+∆)-F(x)/ ∆=F’(x)
Р
авномерное
распределение.
Пусть некоторая случайная величина х может принимать значения из интервала [0,A]. Будем считать, что все значения из интервала х принимает одновероятно. Плотность распределения P(x)=1/a .
F(x)= | 1 , x>=a
| x/a , x>=0, x<=a
| 0, x<0
Экспоненциальное распределение
0<x>бескон. Пусть задан некоторый момент времени t и некоторая случайная величина с равной вероятностью может принимать любое значение из интервала [0, t]. Разделим этот интервал на s частей. Пусть s велико, вероятность того, что случайная величина попадает в i интервал, есть t/s.
1.17-1.20 Числовые хар-ки с.в. МО. Дисперсия. Моменты распределения с.в.
М
АТЕМАТИЧЕСКОЕ
ОЖИДАНИЕ - среднее значение,
понятие
теории вероятностей, важнейшая
характеристика
распределения
значений случайной величины Х. В
простейшем случае, когда Х может принимать
лишь конечное число
значений x1, x2, ..., xn с вероятностями p1,
p2, ..., pn, математическим ожиданием величины
Х называется выражение:
ЕХ = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn.
ДИСПЕРСИЯ (от лат. dispersio - рассеяние) в математической статистике и теории вероятностей - мера рассеивания (отклонения от среднего). В статистике дисперсия есть среднее арифметическое из квадратов отклонений наблюденных значений (x1, x2,...,xn) случайной величины от их среднего арифметического. В теории вероятностей дисперсия случайной величины - математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Непрерывная с.в. называется равномерно распределенной, а ее распределение равномерным на отрезке [a,b] ,если плотность распределения постоянна на этом отрезке и равна 0 вне него.
НОРМАЛЬНОЕ распределение (распределение Гаусса) - распределение вероятностей случайной величины Х, характеризуемой плотностью вероятности, где a - математическое ожидание, ?2 - дисперсия случайной величины Х. Возникает нормальное распределение, когда данная случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, каждая из которых играет в образовании всей суммы незначительную роль.