
- •4.30. Эргодические цепи Маркова.
- •4.31. Определение цепи Маркова
- •4.32. Однородные цепи Маркова
- •4.33. Вероятности n – шаговых переходов
- •4.34. Правила вычисления финальных вероятностей
- •4.35. Классификация состояний
- •4.36. Дцм с произвольным временем пребывания в состояниях с одним поглощающим состоянием.
- •1.7 Условная вероятность
- •1.12 Дискретные с.В.
- •1.14 Непрерывные с.В.
- •2.21. Преобразования Лапласа распределений нсв.
- •2.22. Производящие функции распределений дсв.
- •2.23. Использование преобразования Лапласа для представления распределений дсв.
- •3.25. Задача о поиске элемента в массиве.
- •3.26.Циклы с произвольным числом повторений.
- •3,27.Задача о рабочей нагрузке.
- •3,28. Задача о времени занятости.
- •3,29. Задача о сортировке элементов массива.
- •4.37 Система уравнений для преобразований Лапласа распределений длительностей переходов
- •4.38 Задача о лягушке и кувшинках
- •5.40. Общие соотношения для смо.
- •5.41. Формулы Литтла.
- •5.42. Простейший поток сообщений.
- •5.43. Распределение времени обработки.
- •5.44. Уравнения Колмагорова – Чепмена.
- •5.45. Полный и сокращенный графы состояний.
- •5.46 Правило записи уравнений для финальных вероятностей состояний
- •5.47 Средние времена пребывания и ожидания
- •4.48. Смо с простейшим входным потоком, экспоненциальным обслуживанием и очередью ограниченной длины.
- •4.49. Смо с простейшим входным потоком, экспоненциальным обслуживанием и очередью без ограничений длины.
- •4.50. Смо с простейшим входным потоком, m обслуживающими аппаратами, экспоненциальным обслуживанием и очередью ограниченной длины.
- •4.51. Метод этапов Эрланга.
- •4.52. Система с одним оа, показательным обслуживанием, буфером на одно сообщение и эрланговским поступлением.
- •4.53. Система с одним оа, эрланговским обслуживанием, буфером на одно сообщение и простейшим входным потоком.
4.36. Дцм с произвольным временем пребывания в состояниях с одним поглощающим состоянием.
Марковские цепи с произвольным временем пребывания процесса в состояниях
В
общем случае нас будет интересовать
время, проводимое процессом в состоянии
j.
Будем считать это время случайной
величиной, независимой от др. случайных
величин, определенных в этом процессе.
Обозначим время, проводимое процессом
в состоянии j
– aj(n),
(n)
говорит о том, что это время, проведенное
процессом в состоянии j
после n-ного
попадания в это состояние. aj(n)(t)
– плотность распределения этой случайной
величины. Сделаем предположение, что
эта плотность не зависит от n.
Пусть после некоторого шага (n)
процесс находится в состоянии k.
Тогда дальнейшее его развитие происходит
по след. схеме: k
→ задержка на ak
→ переход к следующему состоянию.
Определяется время, через которое
процесс попадет в это следующее состояние
так:
.
Очевидно, что Тn
тоже является с/в, ak
не зависит от Тn.
Отсюда
- это преобразование Лапласа плотности
распределения того времени, которое
процесс проведет за n+1
шаг при условии, что на n-м
шаге он находится в состоянии k.
Процессы с одним поглощающим состоянием
Заданы: π – матрица
переходов,
-
ПЛ плотности распределения времени
пребывания процесса в соответствующем
состоянии. Обозначим:
-
ПЛ времени продвижения процесса из
состояния i
в поглощающее состояние.
0- поглощающее состояние.
1.7 Условная вероятность
Введем понятие независимых и зависимых событий. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В) или PB(A).Условная вероятность события А при условии наступления события В равна Р(А|В)= Р(АB) /P(B) ,Эта формула называется формулой условной вероятности. Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А|В)= Р(А),а условие зависимости: Р(А|В) Р(А).
1.7 – 1.10 Условная вероятность. Вероятность произведения событий. Независимость событий. Формула полной вероятности.
Пусть из коробки(бесконечная емкость) вынимаются карандаши:
А-красный Т-твердый
Б-черный М-мягкий
С-белый
Карандаши могут быть или твердыми или мягкими. Рассмотрим серию из n испытаний:
А |
B |
А |
А |
А |
С |
B |
А |
B |
B |
С |
Т |
М |
М |
Т |
Т |
Т |
Т |
М |
Т |
М |
Т |
Относительные частоты событий:
Pn(T/A)=mT(A)/mA=3/5
Pn(M/A)=mM(A)/mA=2/5
Pn(T/B)=mT(B)/mB=2/4=1/2
Pn(M/B)=mM(B)/mB=2/4=1/2
Pn(T/C)=mT(C)/mC=2/2=1
Pn(M/C)=mM(C)/mC=0
Это означает, что нас интересует событие Т, только в случае события А.
Пусть мы вынули карандаш из коробки, нас интересует событие, состоящее в том, что вынутый красный карандаш является твердым. Нас будет интересовать вероятность этого события. А*Т-такое событие определяется как произведение событий. Частота появления этого события есть Pn(A*T)=3/11=mAT/n=mAT/n*mA/mA=Pn(T/A)*Pn(A)- формула произведения вероятностей. При n стремящимся к бесконечности получим:
P(A*T)=P(T/A)*P(A)
В том случае, если P(T/A)=P(T/B)=P(T/C) то, говорят о том, что событие «цвет карандаша» и «твердость» независимые друг от друга. Вводим обозначение P(T).
P(A*T)=P(A)*P(T). Пользуясь относительными частотами и вычисляя пределы можно показать, что
P(T)=P(T/A)*P(A)+P(T/B)*P(B)+P(T/C)*P(C) - формула полной вероятности.