13. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда

Степенным рядом называется выражение: (1)

Те значения х при которых ряд (1) сходится называются областью сходимости степенного ряда.

14.Ряды Маклорена и Тейлора.

Если функция имеет производные любого порядка в окрестности точки , то получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:

При получим частный случай ряда Тейлора, который называют рядом Маклорена:

Разложение функций в ряды Маклорена и Тейлора.

15. Понятие функции, дифференцируемой в точке.

Дифференциальным уравнением называется уравнение , которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и ее производные .

Геометрический и физический смысл производной функции

прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f’(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.

При х0, значение х0+хх0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.

Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью. -уравнение нормали в точке х0.

Производная сложной и обратной функции.

Производная сложной ф-ции = произведению производной ф-ции по промежуточному аргументу и производной самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

y^/=f^/(U)*U^/,или y_x^/=f ^/ (u)F^/(x) y=f(u), u=F(x)

Например:

Пусть y=f(x)-монотонно возрастает или убывает.

Д – область определения

Е – область значения

Каждому у принадлежащему Д найдется свое значение х принадлежащее Д.

Пусть y=f(x) и x=g(y) – взаимно обратные функции и монотонно возрастают или убывают. Если эти функции непрерывны в некотором промежутке и в точке х существует конечная производная, то в функции x=g(y) так же существует производная от у.

Правила дифференцирования, таблица производных.

Теорема: Если f(x) и g(x) дифферен. в точке х, то:

Теорема о произв. сложной функции:

Если y(x)=f(u(x)) и существует f’(u) и u’(x), то существует y’(x)=f(u(x))u’(x).

Теорема о произв. обратной функции.

Таблица производных:

16. Дифференциал функции и его геометрический смысл

Геометрический смысл дифференциала

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

 y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

*Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x0,f(x0)) при изменении x0 на величину x

*Св-ва: 1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V2.

Д ифференцирование функций, заданных параметрически