26 Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула:

Док-во: рассмотрим разность F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)]. Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа: F’(n)(xn-x n-1)+ F’( n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F’(2)(x2-x1)+ F’(1)(x1-x0)=f(n)xn+ f(n-1)xn-1+…+ f(2)x2+ f(1)x1= - интегральная сумма.

По теореме Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так .

27. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.

Интегрирование по частям в определенном

интеграле.

§15. Замена переменной в определенном

интеграле.

28. Двойной и тройной интегралы, их свойства.

Свойства двойного интеграла

Двойной интеграл обладает следующими свойствами:

1. 

2. 

3. , где k - константа;

4. Если   в области R, то  ;

5. Если   в области R и   (рисунок 4), то  ;

6. Если   на R и области R и S являются непересекающимися (рисунок 5), то  .  Здесь   означает объединение этих двух областей.

31.Производная по направлению. Градиент

Пусть в некоторой области   задана функция   и точка  . Проведем из точки   вектор  , направляющие косинусы которого  . На векторе  , на расстоянии   от его начала рассмотрим точку  , т.е.  .

Будем предполагать, что функция   и ее частные производные первого порядка непрерывны в области  .

Предел отношения   при  называется производной от функции   в точке  по направлению вектора   и обозначается  , т.е.  .

Для нахождения производной от функции  в заданной точке  по направлению вектора   используют формулу:  , где   – направляющие косинусы вектора  , которые вычисляются по формулам: .

Пусть в каждой точке некоторой области   задана функция  . Вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных этой функции в соответствующей точке, называется градиентом функции   и обозначается   или   (читается «набла у»):  .

При этом говорят, что в области   определено векторное поле градиентов.

Для нахождения градиента функции   в заданной точке   используют формулу: .

 Свойства градиента

1. Производная в данной точке по направлению вектора   имеет наибольшее значение, если направление вектора   совпадает с направлением градиента. Это наибольшее значение производной равно  .

2. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору  , равна нулю.