48. Точки разрыва функции, их классификация.
Точка А называется точкой разрыва функции F(x), если в этой точке функция не является непрерывной.
Пусть f(x) является непрерывной в точке А, возможны 4 случая:
1) Односторонние пределы существуют, но не равны между собой:
2) Односторонние пределы существуют, равны между собой, но не равны пределу в точке А
3) По крайней мере один предел не существует:
4) Односторонние пределы существуют, но по крайней мере один из них бесконечен
Пункты 1 и 2 - точки разрыва первого рода,
Пункты 3 и 4 - точки разрыва второго рода
49. Производная функции, её геометрический и механический смысл, касательная и нормаль к плоскости кривой, их уравнения.
Производной f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует и конечен)
Геометрический смысл производной:
Производная
функции
численно равна угловому коэффициенту
касательной, проведенной в точке 
с абсциссой
Механический смысл производной:
Производная
от координаты есть скорость: 
Касательная
К
асательной
к 
точке
называется предельное положение секущей
при стремлении точки M к точке
по кривой.
Уравнение касательной:
Нормалью
к графику функции 
в точке 
прямая,
проходящая через эту точку перпендикулярно
касательной.
Нормаль
⏊ касательной =>
, где k-коэффициент
касательной.
Уравнение
нормали в точке 
:
50. Вычисление производных элементарных функций.
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7)
(
8) 
9) 
10) 
11) 
12) 
51. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции, теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
Функция называется дифференцируемой, если она имеет конечный предел в этой точке.
Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности:
Определение 1
в
Определение 2
Функция
называется дифференцируемой, если её
приращение можно представить в виде:
,
Определение 1 и 2 эквивалентны.
52. Правила дифференцирования: производная суммы, произведения, частного, производная сложной функции, таблица производных элементарных функций.
Если
Производная
суммы: 
Производная
произведения: 
Производная
частного: 
Производная
сложной функции: 
53. Понятие обратной функции, теорема существования и непрерывности обратной функции, теорема о производной обратной функции, вычисление производной обратных тригонометрических функций.
Определение
обратной функции:
Пусть
функция
строго
монотонная (возрастающая или убывающая)
и непрерывная на области определения
,
область значений этой функции 
,
тогда на интервале 
определена
непрерывная строго монотонная функция
с
областью значений 
,
которая является обратной для
.
Другими
словами, об обратной функции
для
функции
на
конкретном промежутке имеет смысл
говорить, если на этом интервале
либо
возрастает, либо убывает.
Теорема о существовании и непрерывности обратной функции:
1.
Если функция f монотонна на множестве
X и принимает значения на множестве Y
(
),
то на множестве Y определена обратная
функция, принимающая значения в множестве
X и обладающая тем же характером
монотонности, что и сама функция f.
2. Если X=[a,b] и f монотонна и непрерывна на этом множестве, то множество значений функции f есть [f(a),f(b)] и обратная функция непрерывна на нем.
Доказательство:
Покажем, что обратная функция будет непрерывна на [f(a),f(b)].
Рассмотрим
функцию 
:
D(f)=[f(a),f(b)], E(f)=[a,b].
определена
и монотонна на отрезке, множество
значений – отрезок, в силу леммы 4 она
непрерывна на этом отрезке.
Теорема доказана.
Производные обратных тригонометрических функций:
1)
2)
3) 
4) 