30. Критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений (теорема Кронекера-Капелли), матричный метод решения системы.

Теорема Кронекера-Капелли:

Критерий совместности системы линейных уравнений для совместности системы уравнений:

необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы   из коэффициентов при неизвестных был равен рангу расширенной матрицы  получающейся из матрицы добавлением столбца, свободных членов

Матричный метод решения систем линейных уравнений

Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

Рассмотрим матрицу системы  и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов 

Найдем произведение

т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда пользуясь определением равенства матриц данную систему можно записать в виде

или короче A∙X=B.

Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением.

Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| ≠ 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A^-1, обратную матрице A:  . Поскольку A^-1A = E и E∙X = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A^-1B.

31. Комплексные числа, их геометрическое изображение на комплексной числовой плоскости, равенство комплексных чисел, комплексно-сопряжённые числа.

Комплексным числом   называется число вида  , где   и   – действительные числа,   -  мнимая единица. Число   называется действительной частью ( ) комплексного числа  , число   называется мнимой частью ( ) комплексного числа  .

И зображение на комплексной числовой плоскости

Два комплексных числа считаются равными, если у них равны вещественные и мнимые части:

Число называют комплексно сопряженным числу  .

Действует следующее общее правило: «чтобы получить число, комплексно сопряженное данному, надо в нем заменить i на –i ».

32. Действия с комплексными числами в алгебраической форме.

Сложение и вычитание двух комплексных чисел определяются совершенно естественно

то есть надо сложить (или вычесть) отдельно действительные и мнимые части чисел.

Умножение двух комплексных чисел производится как умножение обычных чисел, надо лишь помнить, что  :

Деление комплексных чисел:

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой   , опять же не забывая, что

33. Тригонометрическая форма комплексного числа, свойства модуля и аргумента.

Л юбое комплексное число (кроме нуля)   можно записать в тригонометрической форме: ,

где  – |z| это модуль комплексного числа (r) , а   – аргумент комплексного числа.

Модуль находится по т.Пифагора:

Аргумент: ,

34. Степень комплексного числа с натуральным показателем, формула Муавра корень n-степени из комплексного числа.

формула Муавра:

Если комплексное число представлено в тригонометрической форме  , то при его возведении в натуральную степень   справедлива формула:

Корень n-степени

Уравнение вида   имеет ровно   корней  , которые можно найти по формуле: , где   – это модуль комплексного числа  ,   – его аргумент, а параметр   принимает значения: 

35. Степень числа е с комплексным показателем, формулы Эйлера, показательная форма комплексного числа.

формула Эйлера имеет вид:

С учетом тригонометрической формы комплексного числа, показательную форму можно представить в виде:

36. Действительная функция действительной переменной, способы её задания, основные элементарные функции, их классификация.

Функция одной переменной   – это правило, по которому каждому значению независимой переменной x (из области определения) соответствует одно и только одно значение функции y.

1) Аналитический - функция задана одной или несколькими формулами, в которых указано, какие действия нужно произвести над аргументом x, чтобы получить y

2) Табличный - зависимость между икс и игрек задается в виде таблицы

3) Графический - зависимость задаётся в виде графика

4) Словесный

К основным элементарным функциям относятся:

1) Степенная

2) показательная

3) Логарифмическая

4) Тригонометрические функции

5) Обратные тригонометрические функции

Классификация:

Элементарные функции делятся на алгебраические и трансцендентные

Элементарные функции
Алгебраические	Трансцендентные
1. Целые рациональные	1. Степенные
2. Дробно рациональные	2. Показательные
3. Иррациональные	3. Логарифмические
	4. Тригонометрические
	5. Обратные тригонометрические