4. Линейные операции над векторами: сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, свойства этих операций.
I) Сложение векторов
а) правило треугольника
б) правило параллелограмма
в) правило ломаной
Пусть даны несколько векторов. Тогда, чтобы построить сумму этих векторов, нужно расположить эти векторы так, чтобы начало последующего совпадало с концом предыдущего, получив таким образом ломаную. Тогда вектор, замыкающий эту ломаную, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом последнего, будет суммой векторов.
Свойства операции сложения:
1) коммуникативность a+b=b+a
2) ассоциативность a+(b+c)=(a+b)+с
3) a+0=a
II) Разностью
векторов 
называется вектор 
такой, что 
III) Умножение вектора на число
Произведением вектора 
на число 
,
называется вектор 
,
коллинеарный вектору
,
длина которого равна 
, причем 
и 
Умножение вектора на n - это растяжение этого вектора в n раз
Свойства умножения:
1) коммуникативность 
2) ассоциативность 
3) дистрибутивность 
5. Проекция вектора на ось, свойства проекции.
Ось - направленная прямая, одно из направлений которой считается положительным, а другое отрицательным.
Величиной 
называется его длина, взятая с со знаком
"+", если направление вектора
совпадает с положительным направлением
оси, и со знаком "-", если
направление вектора совпадает с
отрицательным направлением оси.
Проекцией 
является величина вектора 
, расположенного на 
, начало которого совпадает с проекцией
начальной точки
, а конец с проекцией конечной точки
.
Свойства проекции:
1) проекция не изменяется при параллельном переносе оси
2) проекция равна длине AB, умноженного на косинус угла между вектором и осью
3) проекция суммы нескольких векторов равна сумме проекций слагаемых векторов
4) при умножении вектора на число, его проекция умножается на то же число.
6. Базис, разложение вектора по базису, координаты вектора, линейные операции над векторами в координатах.
Базис - максимальная линейно независимая система векторов.
(максимальная система - система, при добавлении в которую одного вектора, система становится линейно зависимая)
Базисом на плоскости называются два неколлинеарных вектора, а в пространстве три некомпланарных.
- базис
- произвольный вектор
Коэффициенты
разложения 
- координаты вектора
в базисе 
Линейные операции над векторами:
Пусть в базисе
заданы векторы
и 
1) Сложение и вычитание
2) Умножение вектора на число
, 
Если векторы и коллинеарны, то их соответствующие векторы пропорциональны:
7. Скалярное произведение векторов, его основные свойства, условия параллельности и перпендикулярности.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению этих векторов на косинус угла между ними:
Свойства скалярного произведения:
1) Коммутативность 
2) Ассоциативность 
3) Дистрибутивность 
4) скалярное произведение двух векторов
равно длине одного из векторов, умноженного
на проекцию другого вектора
= 
= 
5) Скалярный квадрат вектора равен
квадрату его длины 
6) Для того, чтобы два ненулевых вектора
были взаимно перпендикулярны, необходимо
и достаточно, чтобы их скалярное
произведение равнялось нулю 
Таким образом: 