59. Основные теоремы дифференциального исчисления: теорема Роля, теорема Лагранжа, теорема Коши.

Т.Роля:

Если непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале (a;b) и принимает на отрезках AB равные значения => внутри AB существует по крайней мере одна точка C, в которой производная обращается в ноль.

Т.Лагранжа:

-непрерывна на

Т.Каши:

-непрерывны на ,дифф. в (a;b) =>

Т.Лагранжа является частным случаем т.Каши при g(x)=x

60. Правило Лопиталя.

Производная помогает раскрыть пределы и раскрывать неопределенности вида:

Т.1:

Т.2:

61. Формула Тейлора для произвольной функции с остаточным членом в форме Лагранжа.

(остаток в формуле Тейлора в форме Лагранжа)   Пусть при всех  существует я производная . Тогда для любого  существует точка , лежащая между  и   (то есть при  ), такая что

(Остаточный член формулы Тейлора, представленный в таком виде, называется остаточным членом в форме Лагранжа.)

62. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.

Теорема Пусть функция f(x) определена в промежутке X и имеет внутри него конечную производную f/(x), а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X постоянной, достаточно условие f '(x)=0 внутри X. Доказательство Пусть это условие выполнено. Фиксируем некоторую точку x0 из промежутка X и возьмем любую другую его точку x. Для промежутка [ ]  или [ ]  удовлетворены все условия теоремы Лагранжа. Следовательно, можем написать

f(x)−f(x0)=f '(c)(x−x0), 

где c содержится между    и  , а значит, заведомо лежит внутри X. Но, по предположению, , так что для всех x из X

f(x)=f( )=const.

Теорема доказана.

63. Достаточное условие монотонности функции.

(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале)

Пусть функция  непрерывна на  и имеет в каждой точке  производную  Тогда:

если   то   строго возрастает на 

если   то   строго убывает на 

64. Экстремумы функции, необходимое условие существование экстремума, критические точки функции.

Точку  называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают  . Точку  называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство  . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают  . Под окрестностью точки  понимают интервал  , где   - достаточно малое положительное число.  Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Необходимое условие существования:

Пусть функция   имеет в   экстремум. Тогда   и   либо равны 0, либо равны  , либо не существуют.

Критической точкой дифференцируемой функции  , где   — область в  , называется точка, в которой все её частные производные обращаются в ноль.