Решение биматричных игр nm

Даны две матрицы выигрышей и размерности . Необходимо найти оптимальные смешанные стратегии: и .

Оптимальную смешанную стратегию находим из условия минимизации выигрыша противника , а – из условия минимизации выигрыша противника .

Для нахождения ставим задачу линейного программирования: _,

при ограничениях

На основе найденных вычисляем

Для нахождения ставим задачу линейного программирования при ограничениях: , .На основе найденных вычисляем Выигрыши участников определяются с использованием их матриц выигрышей:

Коалиционные игры

Коалиционные игры решают задачу формирования оптимальных коалиций, выбора каждым из участников партнеров для сотрудничества.

Пусть имеется участников:

Рассмотрим возможные стратегии сотрудничества:

– каждый из участников действует независимо от других;

– коалиция из двух участников, первого и второго;

Общее число возможных коалиций и, соответственно, стратегий равно . Для задания выигрышей при разных коалициях используется характеристическая функция. Например,

– выигрыш участников при стратегии

– если первый и второй участники вступят в коалицию, то их общий выигрыш составит 25 и т.д.

– выигрыш трех участников, если они все вступят в коалицию.

Таким образом, чтобы описать коалиционную игру, необходимо задать характеристическую функцию.

Характеристическая функция должна обладать свойством супераддитивности. Для любой пары непересекающихся коалиций должно выполняться неравенство:

.

Если , то такая игра несущественна, так как нет смысла вступать в коалиции.

Для решения игры необходимо составить матрицу выигрышей для каждого участника при разных стратегиях (коалициях) в следующем виде:

где – выигрыш участника в коалиции (1, 2), – выигрыш участника в коалиции (1, 2) и т.д. При этом .

Видим, что при определении выигрышей участников коалиций возникает проблема дележа.

Проблема дележа выигрыша между участниками коалиции

. (2.9)

Выигрыши участников коалиции , вычисляемые по формуле (2.9), называют вектором Шепли.

Кроме свойства (б), вектор Шепли обладает еще свойством аддитивности.

Пусть задана характеристическая функция

,

в которой выигрыш участника в коалиции равен , и вторая характеристическая функция , в которой выигрыш участника равен . Если сформировать третью характеристическую функцию , элементами которой будут суммы соответствующих элементов функций и , то выигрыш участника будет равен

.

Для выбора каждым участником лучшей стратегии необходимо выбрать максимальный выигрыш (см. таблицу выигрышей). Если для нескольких участников игры стратегии совпадают, то эта коалиция и будет эффективна для ее участников.

    ,

,

,

,

,

.