2.7. Методы построения структур цф в классе бих-цепей.

Пусть передаточная функция в классе БИХ цепей задана выражением вида:

(*)

Она однозначно определяет форму оператора F линейного преобразования сигналов:

Используя введенные ранее графические изображения для элементарных цифровых звеньев, прямую форму структуры БИХ цепи представим в виде:

Заметим, что верхняя половина структуры формирует нули, а нижняя полюса. Меняя порядок формирования нулей и полюсов получим новую форму прямой реализации.

В данной структуре одна ЛЗ избыточна. Сохранив ЛЗ длинной М (М>=L) перейдем к канонической структуре :

Каноническая структура отличается минимальным объемом памяти.

В силу зависимости устойчивости БИХ фильтров от порядка М на практике в рамках канонической формы реализуют фильтры не выше 5 порядка, а чаще не выше 2-го.

На практике широкое применение нашли каскадная и параллельная

форма реализации структуры БИХ звеньев 1-го и 2-го порядков.

П ереход от прямой формы к параллельной выполняется путем разложения дробно-рациональной функции на простые дроби, при этом передаточная функция примет вид:

- число звеньев 1-го и 2-го порядка соответственно.

Если числитель и знаменатель в (*) разложить на простые множители, то получим:

Выводы:

Переход от прямой формы построения к параллельной и каскадной предоставляет разработчику ряд существенных преимуществ:

1. Значительно уменьшается чувствительность характеристик цифровой цепи к неточному представлению коэффициентов.

2. Появляется свобода в выборе коэффициентов и способе распределения отдельных блоков с позиции минимизации уровня собственных шумов.

3. Открывается возможность простой многопроцессорной реализации ЦФ, работающего в режиме реального времени на высокой частоте дискретизации.

2.9. Дискретное преобразование Фурье и алгоритм бпф.

Пусть последовательность , задана на конечном интервале длительностью и может быть периодически продолжена с периодом, равным . Тогда имеет место пара дискретных -точечных преобразований вида

(1)

(2)

где

Прямое ДПФ (1) определяет по заданной временной последовательности -мерный массив коэффициентов Фурье , а обратное ДПФ (2) позволяет восстановить исходную временную последовательность по заданному массиву коэффициентов Фурье.

Для вычисления коэффициента Фурье требуется N² операций комплексного умножения с накоплением. Тригонометрический базис обладает свойствами периодичности на интервале от 0 до N-1, что позволяет сократить объем вычислительных затрат.

Основная идея алгоритма БПФ состоит в том, чтобы разбив исходную N-точечную последовательность на 2 более короткие (N/2 и N/2) и выполнив для каждой из них N/2-точечное БПФ восстановить N-точечное БПФ при минимальных дополнительных затратах. В этом случае общие затраты составляют N²/2, т.е. в 2 раза меньше, чем вычисление N-точечного БПФ. При N кратном степени 2 общие затраты будут N∙log₂N.

Алгоритм БПФ можно показать используя модификацию прореживания по времени. Исходная последовательность x(n) делится на четные и нечетные отсчеты. Затем заменяются индексы суммы n = 2r для четной и n = 2r + 1 для нечетной последовательностей:

Из последней формулы видно, что для объединения двух N/2-точечных БПФ в одно N-точечное требуется дополнительно N операций умножения. Т.к. при N>10 N<<N², то этими затратами можно пренебречь. Недостающие X₁(k) и X₂(k) при k ≥N/2 получают путем простого периодического продолжения. Для N=8 графически алгоритм БПФ можно изобразить так:

Одним из самых распространенных применений ДПФ, помимо цифрового спектрального анализа, является реализация на его основе высокоскоростной свертки по алгоритму прямого и обратного БПФ. Алгоритм быстрой свертки включает в себя следующую последовательность операций:

1. Секционирование отсчетов входной последовательности .

Введем новые последовательности

2 . Прямое ДПФ -мерных последовательностей

(3)

где

3. Перемножение Фурье-образов

( 4)

4. Обратное ДПФ -мерной последовательности коэффициентов Фурье

(5)

5. Накопление (в памяти) отсчетов выходной последовательности для всех и отбрасывание отсчетов для всех .

Если и, соответственно , кратны степени 2, то прямое (3) и обратное (5) ДПФ можно вычислить по алгоритму БПФ, затратив на каждое преобразование операций умножения и сложения действительных чисел (вместо для обычного ДПФ). Общие вычислительные затраты на реализацию свертки по алгоритму двойного БПФ, с учетом (4), составят

или, в пересчете на один выходной отсчет ,

вместо операций для прямого метода.

Таким образом, для всех и кратных степени 2, более эффективным в вычислительном отношении является метод двойного отображения на основе алгоритма БПФ.