Постановка задачи.
Пусть x¯=(x1,x2,x3….xn), n-мерный вектор компоненты которого действительные, случайные величины с непрерывным распределением амплитуд значений. При векторном квантовании n-мерный вектор x¯ отображается в n-мерный вектор y¯ с дискретными значениями амплитуд.
y¯=q(x¯)
Обычно вектор y¯принимает одно значение из ограниченного множества Y¯
Y¯=(yi, i от 1 до L )
Множество Y¯ называют кодовой книгой преобразования, а L размером кодовой книги при этом само значение yi¯ называют кодовым вектором или эталоном.
Для построения кодовой книги n-мерное пространство случайных векторов x разделяется на L областей (или ячеек), которые обозначим как, Ci, (i от 1 до L) каждой ячейкой Ci связывается один единственный вектор yi¯ , при этом квантователь назначает вектору x вектор yi¯ если x¯Є Ci
yi¯=q(xi¯) x¯Є Ci
При векторном квантовании возникает ошибка квантования которая может быть оценена мерой отклонения d(x¯,y¯).
Пример.
Пусть вектор x¯=(x1,x2), L=16
в этом случае:
В рассмотренном случае вместо вектора параметров x принимающих неквантованные значения передается вектор y¯6, а точнее номер ячейки 6 вектора y6 в кодовой книге на приемной стороне.
Построение кодовой книги.
Векторный квантователь называют оптимальным, если мера отклонения d(x¯,y¯) минимизирована по всем x и y, для кодовой книги заданной размерности L. Существуют два необходимых условия оптимальности. Первое условие заключается в том, что в оптимальном квантователе должно быть использовано правило выбора по минимуму искажения вектора x т.е. практически производится выбор ближайшей ячейки, а именно: yi¯=q(x¯), тогда и только тогда
d(x¯,yi¯)=< d(x¯,yj¯) j от 1 до L (i=j).
Второе условие оптимальности состоит в том, что каждый кодовый вектор yi¯ должен выбираться из условия минимизации среднего искажения в ячейке Ci, то есть минимизируется следующее расстояние:
Di=E{
d(xi¯,yi¯)/x¯ЄCi}=∫
d(x¯,yi¯)*p(x)dx¯
x¯ЄCi
→min yi¯
При этом некоторый вектор yi¯* минимизирующий указ. расстояния называют центройдом ячейки Ci и записывают:
yi¯*=centr(Ci)
Для построения кодовой книги на практике задаются набором обучающих векторов x¯(n), n от 1 до M и L-мерным множеством ячеек кодовой книги.
Все векторы x¯(n) распределяются по отдельным ячейкам
Ci, i от 1 до L, при этом если заданы значения центройдов yi¯*, i от 1 до L,
т
Di=1/Mi∑d(x¯,y¯*)
x¯ЄCi
где Mi-число векторов x(n) попавший в область Ci.
Для критерия СКО можно показать что Di минимизируется при условии если:
Как разбить всю кодовою книгу на ячейки Ci оптимальным образом?
Одним из наиболее эффективных методов построения кодовой книги является итерационный кластерный алгоритм. Алгоритм разделяет набор обучающих векторов x¯(n), i от 1 до M на L кластеров Ci, i от 1 до L таким образом чтобы удовлетворялись два необходимых условия оптимальности указанных выше.
Кластерный алгоритм построения кодовой книги включает следующие шаги:
1.Задание на начальных условий произвольным образом выбираются значения yi(0), i от 1 до L yi(0) начальное значение центройда
2.Классификация, классифицируют набор обучающих векторов x(n) по кластерам Ci с помощью правила ближайшего соседа.
т.е.: x¯Є Ci(m) тогда и только тогда, когда d(x¯,yi¯)=<d(x¯,yj¯) j≠i. m-номер итерации.
3.Коррекция кодовых векторов (центройдов), производится путем вычисления новых значений центройдов обучающих векторов для каждого кластера.
4.Рассчитывается суммарное среднее искажение, по следующей формуле:
5.Проверка на окончание процедуры. Если уменьшение велечены общего среднего искажения D(m), на итерации m относительно искажения D(m-1) меньше некоторого порога, процедура заканчивается, в противном случае переход на шаг 2.