2.4. Основные типы фильтров частотной селекции и их применение.

2.5 Постановка и решение задачи аппроксимации частотных характеристик в классе ких-цепей.

Пространство строго воспроизводимых функций передачи в классе КИХ цепей задается следующим дискретным представлением:

Для цифровых фильтров с линейной ФЧХ на импульсную характеристику накладывают дополнительные ограничения вида , при этом принимает вид

- описывает функцию передачи фильтра с нулевой ФЧХ. Переход к физически реализуемому фильтру приводит к тому, что функция передачи (по крайней мере амплитудное значение) сохраняет свою форму, а ФЧХ – линейна.

Т.о. если желаемая ЧХ может быть представлена на интервале периодичности частичной суммой ряда Фурье, размерность которой не превышает порядка цепи N, то такая ЧХ принадлежит пространству строго воспроизводимых функций передачи

Представление с наперед заданной точностью желаемой ЧХ не принадлежащей пространству имеет место для всех функций , отвечающим условиям теоремы Вейерштрасса: для непрерывной на интервале периодичности четной функции и значения найдется такое N-мерное пространство строго воспроизводимых функций передачи, для которого при всех M>=N будет иметь место следующее неравенство:

С учетом изложенного задачу аппроксимации в классе КИХ цепей можно сформулировать в следующем виде:

Найти минимальный порядок N и импульсную характеристику , отвечающую критерию близости к функции в смысле минимаксной аппроксимации обеспечивающей воспроизведение желаемой функции передачи с ошибкой, не превышающей

Решение задачи аппроксимации опирается на использование теоремы Чебышева о равноволновой аппроксимации и алгоритм замены Ремеза.

2.6. Постановка и решение задачи аппроксимации частотных характеристик цф в классе бих цепей.

С целью уменьшения общих затрат, связанных с реализацией ЦФ, воспроизводящего желаемую с заданной точностью используют класс линейных операторов более общего вида.

Этот класс состоит из цепей, для которых входной и выходной сигналы удовлетворяют линейному разностному уравнению с постоянными коэффициентами.

- постоянные коэффициенты.

Как и в случае свертки это выражение дает не только строгое математическое описание оператора F, но может быть использовано для непосредственной реализации ЦФ. Данный класс называется классом БИХ – цепей. Отметим, что L<<N и M<<N

Если цепь описана линейным разностным уравнением в такой форме, то ее передаточная функция является отношением полиномов.

Используя Z-преобразование левой и правой части и вводя , , получим:

И спользуя подстановку получим выражение для функции передачи цепи, т.е. его комплексной частотной характеристики:

Фактически это выражение задает пространство строго воспроизводимых функций передачи в классе БИХ цепей заданного порядка.

Сформулируем задачу минимаксной аппроксимации для класса БИХ.

Пространство , где D=M+L+2 строго воспроизводимых функций передачи в классе БИХ цепей задается следующим представлением:

- D-мерный вектор коэффициентов цифровой цепи.

Цель оптимального синтеза БИХ цепи связана прежде всего с решением задачи аппроксимации АЧХ-цепи, которая сформулирована следующим образом.

Найти минимальный порядок D и вектор коэффициентов такие, при которых для заданной меры отклонения имеет место неравенство вида

Решение этого неравенства связано с решением 3-х проблем:

1. Корректности самой постановки задачи;

2. Поиска эффективных методов приближения к дробно-рациональным функциям.

3. Проблема физической реализуемости и устойчивости.

В силу сложности прямого решения задачи аппроксимации в инженерной практике широко используют косвенные методы, которые дают решения, близкие к оптимальным.

На частотном этапе синтеза производится расчет параметров эквивалентного по свойствам частотной избирательности задающим характеристики аналогового фильтра прототипа с , при этом используют хорошо отработанный аппарат фильтров класса:

• Бесселя;

• Баттероворта;

• Чебышева (1 и 2 рода);

• Золоторева;

• Эллиптичности.

На 2-м этапе используя билинейное преобразование переходят к цифровому фильтру с .