2.18 Построение набора цифровых полосовых фильтров с прореживанием по частоте: пирамидальная структура.

В классе КИХ-цепей:

М=8.

Рассмотрим преобразование спектра входного сигнала при выделении 4-ого частотного канала

(у₄ (n)).

Цифровая 8 канальная система частотной селекции включает 3 ступени преобразования и содержит в общем случае 7 полуполосных фильтров.

На 1 ступени входной сигнал x(n) расщепляется на 2 последовательности данных: x_1,0(n) и x_1,1(n), содержащих соответственно четные и нечетные каналы. При этом достаточно использовать только 1 полуполосный ГФ с функцией передачи Н₀(ω), непосредственно выделяющей составляющую x_1,0(n). Для выделения x_1,1(n) достаточно воспользоваться свойствами антисимметричности ИХ полуполосного фильтра. Полученную на его выходе последовательность x_1,0(n) вычесть из входного сигнала x(n), задержанного на половину длины импульсной характеристики полуполосного ГФ с функцией передачи Н₀(ω).

Заметим, что спектр сигнала x_1,1(n) отличается от спектра сигнала x_1,0(n) сдвигом по частоте частотных каналов на Δω=π/4, поэтому если выполнить трансформацию спектра сигнала x_1,1(n) на величину Δω=π/4, то последующая его обработка будет аналогичной обработке сигнала x_1,0(n).

Нетрудно увидеть (см. схему), что на второй ступени преобразования описанная выше структура алгоритма разделения частотных каналов на четные и нечетные повторяется для каждой из двух входных последовательностей. А на третьей ступени преобразования для окончательного разделения двух оставшихся полос используются предельно простые полосовые СФ с функцией передачи Н₂(ω), которая также отвечает свойству полуполосности.

Оценим затраты на реализацию этой структуры. Вычислительные затраты складываются из двух составляющих – 1) затраты на квадратурную комплексную модуляцию;

2) затраты, связанные с реализацией полуполосных ГФ.

V_ПФ=2*М*(1+1/2+1/4+...+2/M) + Σ 2ⁱ * N_i/υ_i ,

где m=log₂M, N_i и υ_i – порядок i-ого полуполосного ГФ и коэффициент прореживания его ИХ.

Поскольку на последующей ступени преобразования вместо операции умножения используется операция (-1)ⁿ, а на предыдущей ступени преобразования фактически выполняется умножение на комплексную величину вида: 1+j*0; -1+j*0; 0+1*j; 0-1*j, то общие затраты на модуляцию равны М.

Отметим, что отношение N_i/υ_i= N₀/υ₀ для i от 1 до m-1, так как на каждой последующей ступени преобразования с одной стороны коэффициент прореживания υ_i уменьшается в 2 раза, а с другой стороны N_i тоже уменьшается в 2 раза, так как в 2 раза расширяется переходная зона АЧХ.

Можно показать, что υ₀ определяется соотношением

υ₀=М/2

следовательно, N_i/υ_i= 2*N₀/М.

V_ПФ=М + 2*N₀/М *(1+2+4+...+M/2)= М + 2*N₀/2*(1+1/2+1/4+...+2/M)=M+2*N₀≈2*N₀ (при N₀>>M)

Вывод: общие затраты не зависят от числа каналов при N₀ >> M

В классе БИХ-цепей:

Рассмотрим построение набора из М полосовых БИХ-фильтров с однотипными ЧХ:

М=8

В рамках данной пирамидальной структуры каждая ветвь, соединяющая некоторый вход с некоторым к-ым выходом (к = от 0 до 7) включает одну и ту же последовательность элементарных ЦГФ, которая заканчивается наипростейшим СФ, имеющим как правило 3 порядок. Отличие состоит в использовании соответствующей каждому выходному каналу последовательности квадратурных модуляторов.