2.17. Двухкаскадная реализация набора цифровых полосовых фильтров с прореживанием по частоте.

В классе КИХ-цепей:

Методы синтеза структуры узкополосного цифрового фильтра

Пусть необходимо построить фильтр с функцией передачи Н (jω). С этой целью воспользуемся двухкаскадной структурой фильтра: 1 каскад – ЦГФ с функцией передачи Н_ГФ (jω), который отличается от функции передачи Н (jω) тем, что является периодической с периодом ω _п = 2π/υ, где υ – коэффициент прореживания ИХ ЦГФ; 2 каскад – ЦСФ с функцией передачи Н_СФ (jω), которая вырезает υ-1 боковых составляющих спектра сигнала на выходе ЦГФ.

Структура тогда принимает следующий вид:

Значительное уменьшение вычислительных затрат для узкополосных фильтров обусловлено тем, что:

1. затраты на ГФ уменьшаются в υ раз по отношению к обычной реализации;

2. вычислительные затраты на СФ значительно уменьшаются в следствии того, что порядок СФ N_СФ << N в следствии того, что показатель прямоугольности α _СФ << 1.

Отметим, что в зависимости от выбора параметра υ затраты на реализацию ГФ могут уменьшаться, но при этом увеличиваются затраты на реализацию СФ, т.к. увеличивается коэффициент прямоугольности его АЧХ и наоборот. Также, при оптимальном значении параметра υ с позиции минимизации общих затрат суммарные вычислительные затраты уменьшаются в N^1/2 раз.

Заметим, что для минимизации затрат на реализацию ГФ необходимо, чтобы параметр υ принимал максимально большое значение. При этом увеличение затрат на реализацию СФ в следствии его узкополосности может быть существенно уменьшено, если СФ, имеющий порядок N_СФ, в свою очередь построить по двухкаскадной структуре, т.е. ввести дополнительный ГФ. В этом случае структура примет следующий вид:

В рамках данной структуры существенное уменьшение общих вычислительных затрат (по отношению к двухкаскадной) достигается за счет того, что при оптимальном выборе υ_{2опт ,}затраты на СФ, представленный в рамках двухкаскадной реализации, уменьшаются в N_СФ^1/2 раз.

Некоторое дополнительное уменьшение вычислительных затрат может быть получено, если провести оптимизацию сразу 2 параметров: υ₁ и υ₂. Процесс наращивания числа каскадов может быть продолжен для узкополосных фильтров.

Преимущества данного подхода:

1. значительное уменьшение общих вычислительных затрат;

2. значительное уменьшение памяти коэффициентов;

3. значительное уменьшение собственных шумов в следствии уменьшения порядков фильтров и сглаживающих свойств собственный шумов входных каскадов последующими фильтрами.

4. отсутствие шумов децимации (наложение спектров)

Недостатки метода:

1. некоторое увеличение памяти данных

Методы синтеза набора полосовых фильтров

Постановка задачи:

пусть необходимо построить набор цифровых полосовых фильтров с заданными параметрами частотной избирательности α, β, ε_1доп, ε_2доп, равномерно перекрывающих диапазон рабочих частот от 0 до 2π: 0 ≤ ω ≤ 2π. Пусть число частотных каналов – М (М=8)

Таким образом, двухкаскадная структура набора фильтров принимает вид (рассматривается формирование четных каналов):

Предполагается, что для разделения нечетных каналов входной ЦГФ заменяется на гребенчатый фильтр с функцией передачи Н¹₁ (jω), выделяющий одновременно все нечетные каналы.

Значительное уменьшение вычислительных затрат достигается за счет того, что:

• Вместо параллельного набора ПФ заданного порядка N (общие затраты на их реализацию N*M) используется параллельный набор из М полосовых сглаживающих фильтров, порядок которых N₂ << N. Затраты уже будут составлять N₂*M.

• Затраты на входе ГФ, имеющего порядок N, приведенные на 1 частотный канал уменьшаются в М/2 раз. Кроме того, ГФ имеет прореженную импульсную характеристику, причем υ=M/2 следовательно затраты на его реализацию уменьшаются в υ раз.

Значительное уменьшение общих вычислительных затрат в рамках представленной двухкаскадной структуры можно добиться путем использования параллельного набора из 3, 4, 5, … ГФ. При этом увеличивается период следования боковых полос функции передачи каждого ГФ, а значит пропорционально расширяется переходная зона АЧХ последующих сглаживающих фильтров и значит уменьшается порядок последнего.

Другой путь повышения эффективности состоит в том, что набор СФ может строиться по многокаскадной структуре. При этом общая схема соединений принимает пирамидальный вид.

В классе БИХ-цепей:

Двухкаскадная структура полосового фильтра имеет вид:

Приведенная структура полосового БИХ-фильтра отличается существенным снижением чувствительности частотных характеристик фильтров к неточному представлению коэффициентов, т.к.:

• ЦГФ, отличаясь воспроизведением с заданной высокой прямоугольностью АЧХ проектируемого фильтра, фактически синтезируется как базовый НЧФ, у которого вместо элемента задержки z^-1 стоит z^-υ. При этом у базового НЧФ полоса пропускания расширяется пропорционально υ, а следовательно существенно уменьшается чувствительность характеристик (в υ^М раз, где М – порядок БИХ-фильтра).

• Значительное расширение полосы пропускания и переходной зоны АЧХ СФ по отношению к узкополосному проектируемому фильтру, что снижает порядок фильтра и увеличивает расстояние между полюсами передаточной функции.

Пример:

Пусть проектируется фильтр Баттерворта со следующими параметрами частотной избирательности:

Расчет показывает, что требуемый порядок фильтра составляет М ≥ 7. Требуемая разрядность представления коэффициентов q > 54 двоичных единицы, чтобы обеспечить сохранение полюсов внутри единичного круга.

Для реализации требуемой частотной избирательности в рамках рассмотренной выше двухкаскадной структуры воспользуемся двумя фильтрами со следующими параметрами частотной избирательности:

1. базовый НЧФ – фильтр Баттерворта 7 порядка. На частоте F_c11 = 10 Гц затухание: - 3 дБ, на частотах выше F_c21 = 20 Гц затухание: - 40 дБ. При этом частота дискретизации базового фильтра: 400 Гц. Коэффициент прореживания ИХ: υ=25.

2. сглаживающий фильтр – фильтр Баттерворта 3 порядка. При этом на частоте F_c12 = 80 Гц затухание: - 3 дБ, на частотах выше F_c22 = 380 Гц затухание: - 40 дБ.

Расчет требуемой точности представления коэффициентов фильтра показывает, что для ЦГФ: q ≥ 18 двоичных единиц, для ЦСФ: q ≥ 14 двоичных единиц.

Отметим, что в данном примере коэффициент прореживания ИХ υ=25 выбирался эмпирически (без оптимизации). С целью оптимизации структуры следует несколько увеличить параметры υ, при этом базовый НЧФ станет менее узкополосным, что позволит уменьшить требуемую точность представления его коэффициентов. Вместе с тем, СФ будет иметь более узкую переходную зону АЧХ, а следовательно возрастет его порядок, и как следствие, требуемая разрядность представления коэффициентов. Очевидно при υ = υ _опт можно добиться значения q_ЦГФ = q_ЦСФ = 16 двоичных единицы.