Пространственнаясистемасил.Условияравновесияпространственнойсистемысил.

Пространственнаясистемасилназываетсяпространственной,еслилинииихдействиярасположенывпространствепроизвольнымобразом.Дляпространственныхсистемсилостаютсясправедливымивсетеположения,которыебылисформулированыдляплоскойсистемысил.Так,равнодействующаясходящихсясилвтрехмерномслучаеУсловиеуравновешенностипространственнойсистемысходящихсясилможетбытьсформулировановоднойизтрехформ:ввекторнойформе:вграфическойформе:силовоймногоугольникдолженбытьзамкнут.ваналитическойформе:суммапроекцийвсехсил

накаждуюизосейдекартовойсистемыкоординатдолжнабытьравнанулюМоментсилыотносительноточкивтрехмерномслучаеопределяетсянесколькосложнее.Именно,моментМС(F)силыFотносительнонекоторойточкиСравенвекторномупроизведениюрадиус-вектораr,проведенногоизточкиСвточкуприложениясилы,насилуF:МС(F)=rхF.(2.10)ВсоответствиисправиламивекторногопроизведениямоментМС(F)представляетсобойвектор,перпендикулярныйплоскости,вкоторойлежатвектораrиF,

инаправленныйтак,чтосиластремитсяповернутьтелопротивчасовойстрелки,еслисмотретьсосторонывектораМС(F).Модульмоментасилыравен:гдеh=rsin-расстояниеотточкиСдолиниидействиясилыF,?-уголмеждурадиус-векторомисилой(рис.12).Оно,какивплоскомслучае,называетсяплечомсилы.Плечосилыне

изменится,еслиточкаприложениясилыбудетперемещатьсявдольлинииеедействия.ПоэтомувеличинамоментаМС(F)независитоттого,гдевыбранаточкаприложениясилы.Изформулы(2.11)видно,чтомоментсилыотносительноточкиравеннулювдвухслучаях:либо,когдасиларавнанулю,либо,когдаточкаСлежитналиниидействиясилы.ТеоремаВариньонадляпространственнойсистемысилимеетболееобщуюформу,чем

соотношение(2.5)дляплоскойсистемысил:еслипроизвольнаяпространственнаясистемасилимеетравнодействующую,томоментравнодействующейотносительнонекоторойточкиравенвекторнойсуммемоментоввсехсилсистемыотносительнотойжеточки.Как

известноизаналитическойгеометрии,векторноепроизведение(2.10)можетбытьзаписаночерезопределительгдеi,j,k–ортыдекартовойсистемыкоординатсцентромвточкеС;x,y,z–проекциирадиус-вектора;Fx,Fy,Fz–проекциисилынасоответствующиекоординатныеоси.Равенство(2.12)можнорассматриватькакразложениевектораМС(F)поосямкоординат.Следовательно,каждыйсомножительпередединичнымортомпредставляетсобойпроекциювектораМС(F)насоответствующуюось.МоментомМm(F)силыFотносительнонекоторойосиmназываетсяскалярнаявеличина,равнаяпроекциинаосьmмоментасилыFотносительнокакой-либоточки,взятойнаэтойоси.Длявычислениямоментасилыотносительноосиудобновоспользоватьсяследующимнесложнымпостроением:сначалапровестиплоскостьперпендикулярнуюосиmинайтиточкуихпересечения,затемспроектироватьсилунаэтуплоскость.МоментпроекцииотносительноточкипересеченияибудетравенмоментусилыFотносительноосиm.ПравилознакадлямоментаМm(F)такоежекаки

привычислениимоментасилыотносительноточки.Моментсилыотносительноосиравеннулютогда,когдасилаFлежитводнойплоскостисосьюm.Всамомделе,вэтомслучаелибопроекциясилынаплоскость,перпендикулярнуюоси,равнанулю(силаF

параллельнаосиm),либолиниядействияпроекциисилыпроходитчерезточкупересеченияуказаннойплоскостииоси.Изопределениямоментасилыотносительноосиследует,чтосомножителипередединичнымиортамивформуле(2.12)равнымоментамсилыFотносительноосейдекартовыхкоординат:Мх(F)=yFz–zFy;My(F)=zFx–xFz;Mz(F)=xFy–yFx.Этиформулыпозволяютвычислитьмоментысилыотносительнокоординатныхосей,еслиизвестныкоординатыточкиприложениясилыиеепроекциина

осикоординат.Парасилдлятрехмерногослучаяопределяетсятакжекакидляплоскогослучая.Однако,плоскостьдействияпарыи,следовательно,вектореемоментамогутбытьориентированывпространствепроизвольнымобразом.Отсюдаследует,чтодвепарысилбудутэквивалентны,есливекторыихмоментовравныдругдругу.Следовательно,парусилможнопереноситьвпространствепроизвольнымобразом,оставляяплоскостьеедействияпараллельнойсамойсебе.ЕсликтелуприложенынесколькопарсилсмоментамиМ1,М2,…,Мn,томоментравнодействующейпарыравенвекторнойсуммемоментоввсехпар:n

Условияравновесияпространственнойсистемысил

Теорема.Дляравновесияпространственнойсистемысилнеобходимоидостаточно,чтобыглавныйвекториглавныймоментэтойсистемыравнялисьнулю.Достаточность:приF_o=0системасходящихсясил,приложенныхвцентреприведенияО,эквивалентнанулю,априМ_о=0системапарсилэквивалентнанулю.Следовательно,исходнаясистемасилэквивалентнанулю.Необходимость:Пустьданнаясистемасилэквивалентнанулю.Приведясистемукдвумсилам,заметим,чтосистемасилQиР(рис.4.4)должнабытьэк-вивалентнанулю,следовательно,этидвесилыдолжныиметьобщуюлиниюдействияидолжновыполнятьсярав-воQ=–Р.Ноэтоможетбыть,еслилиниядействиясилыРпроходитчерезточкуО,т.е.еслиh=0.Аэтозначит,чтоглавныймоментравеннулю(М_о=0).Т.к.Q+Р=0,aQ=F_o+P',тоF_o+P'+P=0,и,следовательно,F_o=0.Необхидостуслравновпространственнойсистсилимвид:F_o=0,M_o=0(4.15),или,впроекциях

^{накоординатныеоси,Fox=åF}_kx^=F_1x^+F_2x^+…+F_nx^=0;F_Oy^=åF_ky^=F_1y^+F_2y^+...+F_ny^=0;

^F_oz^=åF_kz^=F_1z^+F_2z^+…+F_nz^=0(4.16).M_Ox^=åM_Ox^(F_k^)=M_Ox^(F₁^)+М_ox^(F₂^)+...+M_Ox^(F_n^)=0,

^M_Oy^=åM_Oy^(F_k^)=M_oy^(F₁^)+M_oy^(F₂^)+…+M_oy^(F_n^)=0,М_oz^=åМ_Оz^(F_k^)=М_Оz^(F₁^)+M_oz^(F₂^)+...+М_oz^(F_n⁾

=0.(4.17)

Т.о.прирешениизадачимея6ур-ийможнонайти6неизвестных.Замечание:парусилнельзяпривестикравнодействующей.Частныеслучаи:1)Равновесиепространственнойсистемыпараллельныхсил.ПустьосьZпараллельналиниямдействсилы(рис4.6),тогдапроекциисилнаxиyравны0(F_kx=0иF_ky=0),аостаётсятолькоF_oz.Ачтокасаетсямоментов,тоостаютсятолькоM_oxиM_oy,аM_ozотсутствует.2)Равновесиеплоскойсистемысил.Остаютсяур-яF_ox,F_oyимоментM_oz(рис4.7).3)Равновесиеплоскойсистемыпараллельныхсил.(рис.4.8).Остаютсятолько2ур-я:F_oyиM_oz.Присоставленииур-ийравновесиязацентрпривиденияможетбытьвыбраналюбаяточка.

Вопрос№7.