Плоскаясистемасил.Условияравновесияплоскойсистемысил.

Произвольнаяплоскаясистемасил

Есливсесилы,действующиенатвердоетело,лежатнаоднойплоскости,выберемсистемукоординатxOyвплоскостидействиясил(рисунок2.1).Вэтомслучаеобнаружим,что

Далее,вспомнивопределениемоментасилыотносительнооси,замечаем,чтосуммамоментоввсехсилотносительноосиzравнаалгебраическойсуммемоментовэтихсилотносительноначалакоординат,т.е.точкиО.Врезультатеостанутсяследующиетрианалитическиеусловияравновесия:

Рисунок2.1

Дляравновесияпроизвольнойплоскойсистемысилнеобходимоидостаточно,чтобысуммыпроекцийвсехсилнакаждуюизкоординатныхосейxиyисуммамоментоввсехсилотносительнолюбойточки,лежащихвплоскостидействиясил,былиравнынулю.

Произвольнойплоскойсистемойсилназываетсясовокупностьсил,линиидействиякоторыхнаходятсяводнойплоскости.

Главнымвекторомсистемысилназываетсявектор,равныйвекторнойсуммеэтихсил:

R=ΣF_k.(1.1)

ГлавныммоментомсистемысилотносительноточкиOтела,называетсявектор,равныйвекторнойсуммемоментоввсехсилсистемыотносительноэтойточки:

Формыусловийравновесияпроизвольнойплоскойсистемысил

Перваяформаусловийравновесия

Дляравновесияпроизвольнойплоскойсистемысил,приложенныхктвердомутелу,необходимоидостаточно,чтобыглавныйвекторRэтихсилиихглавный

моментM_oотносительнопроизвольнойточкиO,лежащейвплоскостидействияэтихсил,былиравнынулю,т.е.

^ΣF_k^{=0, ΣM}_o^(F_k^)=0(1.3)

Вкоординатнойформеэтиусловиявыражаютсяследующимитремяуравнениями:

^ΣF_kx^{=0, ΣF}_ky^{=0, ΣM}_o^(F_k^{)=0. (1.4)}

Уравнения(1.4)носятназваниепервойформыусловийравновесиядляпроизвольнойплоскойсистемысил.

Равновесиеплоскихсистемсил,расположенныхпроизвольнонаплоскости,можновыразитьещевдвухдругихэквивалентныхформахнеобходимыхидостаточныхусловийравновесия.

^M_o^=ΣM_o^(F_k^).(1.2)

Втораяформаусловийравновесия(теоремаотрехмоментах)

Теоремаотрехмоментах–алгебраическаясуммамоментовсилотносительнотрехпроизвольныхточекA,B,C,нележащихнаоднойпрямой,равнанулю,т.е.

^ΣM_A^(F_k^{)=0, ΣM}_B^(F_k^{)=0, ΣM}_C^(F_k^)=0;(1.5)

Необходимостьэтихусловийочевидна,т.к.еслиплоскаясистемасилнаходитсявравновесии,товыполняетсяперваяформаусловийравновесия(1.4).

Атогдаизпоследнегоравенства(1.4)следует,чтосуммамоментоввсехсилотносительнолюбойточки,следовательно,иточекА,В,Сравняетсянулю,т.е.выполняютсяусловия(1.5).

Достаточностьусловий(1.5)следуетизтого,чтоесливыполняютсяусловия(1.5),аданнаясистемасилненаходитсявравновесии,тоонадолжнабылабыприводитьсякравнодействующей,одновременнопроходящейчерезточкиА,В,С.

Этоневозможно,т.к.точкиА,В,Снележатнаоднойпрямой.Следовательно,есливыполняютсяусловия(1.5),тоимеетместоравновесие.

Третьяформаусловийравновесия–алгебраическаясуммамоментоввсехсил

относительнодвухлюбыхточекAиBравнанулюисуммапроекцийэтихсилнаосьOx,неперпендикулярнуюкпрямой,проходящейчерезточкиAиB,равнанулю,т.е.

^ΣM_A^(F_k^{)=0, ΣM}_B^(F_k^{)=0, ΣF}_kx^{=0. (1.6)}

Необходимостьэтихусловий,такжекакивпредыдущемслучае,следуетизпервойформыусловийравновесия.Докажемихдостаточность,т.е.докажем,чтоесливыполняютсяусловия(1.6),торассматриваемаясистеманаходитсявравновесии.

Выполнениепервыхдвухусловий(1.6)означает,чтоглавныймоментданнойсистемысилотносительноцентровприведенияАиВравеннулю.Такаясистемаможетиметьравнодействующую,приложеннуювцентреприведения,иприR*¹0линиядействияравнодействующейпроходитчерезточкиАиВ(рисунок2.2).

Рисунок2.2

Нопотретьемуусловиюиз(1.6)проекцияравнодействующейнаосьОxравнанулю.ТаккакосьОx(рис.2)неперпендикулярнаАВ,тоэтопоследнееусловиеможетбытьвыполненотольковслучае,еслиR*=0,т.е.когдарассматриваемаясистемасилуравновешена.

Вчастномслучае,еслилиниидействиявсехсилплоскойсистемыпараллельны(плоскаясистемапараллельныхсил),тоусловияравновесиятакихсилвыражаютсянетремя,адвумяуравнениями:

ΣF_kx=0, ΣM_o(F_k)=0,(1.7)

причемосьOxпараллельнаданнымсилам,или

ΣM_A(F_k)=0, ΣM_B(F_k)=0, (1.8)

причемпрямаяABнепараллельнаданнымсилам.

Вопрос№5.