27. Теорема Бернулли.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если ε  — сколь угодно малое положительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

Доказательство. Обозначим через X₁ дискретную случайную величину — число появлений события в первом испытании, через X₂ — во втором, ..., X_n — в n-м испытании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие A наступило) с вероятностью p и 0 (событие не появилось) с вероятностью  .

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их ограничены. Оба условия выполняются Действительно, попарная независимость величин   следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины   равна произведению  ; так как  , то произведение   не превышает 1/4и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом  .

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рассматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание a каждой из величин   (т.е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно вероятности p наступления события, получим

Остается показать, что дробь

равна относительной частоте   появлений события A в испытаниях. Действительно, каждая из величин   при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма   равна числу   появлений события в   испытаниях, а значит,

Учитывая это равенство, окончательно получим

28. Центральная предельная теорема.

Централь­ная предельная теорема А. М. Ляпунова: если случайная величина Х пред­ставляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние' каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Точная формулировка Л. т. такова: пусть независимые случайные величины   имеют конечные математические ожидания   дисперсии   и абсолютные моменты  и пусть   - дисперсия суммы Х ₁, ..., Х _п. Тогда если при некотором   выполнено условие 

то вероятность неравенства 

стремится при   к пределу 

29. Генеральная и выборочная совокупности. Полигон частот ( относительных частот), гистограмма.

Выборочной совокупностью или просто выборкой назы­вают совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x₁, n₁), (x₂, n₂), …, (x_k, n_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i. Точки (x_i, n_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки

(x₁, w₁), (x₂, w₂), …, (x_k, w_k).

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат w_i. Точки (x_i, w_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рисунке изображен полигон относительных частот следующего распределения:

x	1,5	3,5	5,5	7,5
w	0,1	0,2	0,4	0,3

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс, на расстоянии n_i/h.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна hn_i/h =n_i ─ сумме частот вариант i-го интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки n.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длинною h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность относительной частоты).

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i/h. Площадь i-го частичного прямоугольника равна hW_i/h =W_i ─ относительной частоте вариант, попавших в i-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.