24. Неравенство Маркова.

Формулировка неравенства Маркова

Если среди значений случайной величины Х нет отрицательных, то вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, превосходящее положительное число А, не больше дроби  , т.е.

,                                    

а вероятность того, что она примет какое-нибудь значение, не превосходящее положительного числа А, не меньше  , т.е.

.                                       

25. Неравенство Чебышева.

Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины X от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа ε, не меньше, чем 1 −D[X]ε²

P(|X – M(X)| < ε) ≥ 1 –D(X)ε²

Доказательство. Так как события, состоящие в осуществлении неравенств

P(|X−M(X)| < ε) и P(|X – M(X)| ≥ε) противоположны, то сумма их вероятностей равна единице, т. е.

P(|X – M(X)| < ε) + P(|X – M(X)| ≥ ε) = 1.

Отсюда интересующая нас вероятность

P(|X – M(X)| < ε) = 1 − P(|X – M(X)| > ε).

Таким образом, задача сводится к вычислению вероятности P(|X –M(X)| ≥ ε).

Напишем выражение для дисперсии случайной величины X

D(X) = [x1 – M(x)]²p1 + [x₂ – M(x)]²p₂ + . . . + [x_n – M(x)]²p_n

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим те слагаемые, у которых |x_i – M(X)| < ε (для оставшихся слагаемых |x_j – M(X)| ≥ ε), вследствие чего сумма может только уменьшиться. Условимся считать для определенности, что отброшено k первых слагаемых (не нарушая общности, можно считать, что в таблице распределения возможные значения занумерованы именно в таком порядке). Таким образом,

D(X) ≥ [x_k+1 – M(x)]²p_k+1 + [x_k+2 – M(x)]²p_k+2 + . . . + [x_n – M(x)]²p_n

Обе части неравенства |x_j –M(X)| ≥ ε (j = k+1, k+2, . . ., n) положительны, поэтому, возведя их в квадрат, получим равносильное неравенство |x_j – M(X)|² ≥ε².Заменяя в оставшейся сумме каждый из множителей

|x_j – M(X)|²числом ε²(при этом неравенство может лишь усилиться), получим

D(X) ≥ ε²(p_k+1 + p_k+2 + . . . + p_n)

По теореме сложения, сумма вероятностей p_k+1+p_k+2+. . .+p_n есть вероятность того, что X примет одно, безразлично какое, из значений x_k+1 +x_k+2 +. . .+x_n, а при любом из них отклонение удовлетворяет неравенству |x_j – M(X)| ≥ ε. Отсюда следует, что сумма p_k+1 + p_k+2 + . . . + p_n выражает вероятность

P(|X – M(X)| ≥ ε).

Это позволяет переписать неравенство для D(X) так

D(X) ≥ ε²P(|X – M(X)| ≥ ε)

или

P(|X – M(X)|≥ ε) ≤D(X)/ε²

Окончательно получим

P(|X – M(X)| < ε) ≥D(X)/ε²

26. Теорема Чебышева.

Теорема Чебышева. Если   — попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число ε, вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину — среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание Х. Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), получим

(1)

Применяя к величине Х неравенство Чебышева, имеем

или, учитывая соотношение (1)

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых), получим

По условию дисперсии всех случайных величин ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства:

поэтому

Итак,

(2)

Подставляя правую часть (2) в неравенство (1) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

Отсюда, переходя к пределу при n→∞, получим

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

Теорема доказана.