19. Двумерная дискретная случайная величина: закон совместного распределения, частные законы распределения компонент. Условные законы распределения компонент. Независимость случайных величин.

Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y)  имеет вид таблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компоненты и вероятности p(x_i, y_j), с которыми величина принимает значение (x_i, y_j):

При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.

Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих. Действительно, событие Х = х₁ представляется собой сумму несовместных событий (X = x₁, Y = y₁), (X = x₁, Y = y₂),…, (X = x₁, Y = y_m), поэтому р(Х = х₁) = p(x₁, y₁) + p(x₁, y₂) +…+ p(x₁, y_m)

(в правой части находится сумма вероятностей, стоящих в столбце, соответствующем Х = х₁). Так же можно найти вероятности остальных возможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужно сложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = y_j.

Условные законы распределения составляющих дискретной двумерной случайной величины. Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину и найдем закон распределения составляющей Х при условии, что Y примет определенное значение (например, Y = у₁). Для этого воспользуемся формулой Байеса, считая гипотезами события Х = х₁, Х = х₂,…, Х = х_п, а событием А – событие Y = у₁. При такой постановке задачи нам требуется найти условные вероятности гипотез при условии, что А произошло. Следовательно,

                                   .

Таким же образом можно найти вероятности возможных значений Х при условии, что Y принимает любое другое свое возможное значение:

Аналогично находят условные законы распределения составляющей Y:

                                  .                                  

Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того какое значение принимает другая случайная величина.

Теорема. Для того, чтобы случайные величины Х и Y были независимы, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих.               

20. Свойства математического ожидания случайной величины

1 свойство. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C. Доказательство. Будем рассматривать постоянную C как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение C и принимает его с вероятностью p = 1. Следовательно, M(C) = C · 1 = C.

2 свойство. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).

Доказательство. Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X x1 x2 . . . xn

p p1 p2 . . . pn

Напишем закон распределения случайной величины CX:

CX Cx1 Cx2 . . . Cxn

p p1 p2 . . . pn

Математическое ожидание случайной величины CX:

M(CX) = Cx1p1 + Cx2p2 + . . . + Cx_np_n = C(x1p1 + x2p2 + . . . + x_np_n) = CM(X) Итак, М(СХ) = СМ(Х)

3 свойство. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(XY) = M(X)M(Y).

Доказательство. Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения.

X x1 x2 _; Y y1 y2

p g1 g2 p p1 p2

Составим все значения, которые может принимать случайная величина XY . Для этого перемножим все возможные значения X на каждое возможное значение Y. Напишем закон распределения:

XY x1y1 x2y1 x1y2 x2y2

p p1g1 p2g1 p1g2 p2g2

Математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений на их вероятности:

M(XY ) = x1y1 · p1g1 + x2y1 · p2g1 + x1y2 · p1g2 + x2y2 · p2g2.

или

M(XY ) = y1g1(x1p1 + x2p2) + y2g2(x1p1 + x2p2) = (x1p1 + x2p2)(y1g1 + y2g2) = M(X)M(Y).

4 свойство. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M[X + Y ] = M[X] + M[Y ]

Доказательство. Пусть случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения

X x1 x2 Y y1 y2

p g1 g2 p p1 p2

Составим все возможные значения величины X + Y . Для этого к каждому возможному значению X прибавим каждое возможное значение Y; получим x1 + y1, x1 + y2, x2 + y1, x2 + y2, и обозначим их вероятности соответственно через p11, p12, p21, p22. Математическое ожидание величины X + Y равно

M(X + Y) = (x1 + y1)p11 + (x1 + y2)p12+(x2 + y1)p21 + (x2 + y2)p22.

Докажем, что p11 + p12 = p1. Событие, состоящее в том, что X примет значение x1, (вероятность этого события равна p1) влечет за собой событие, которое состоит в том, что X + Y примет значение x1 + y1 или

x1 + y2. Отсюда и следует, p11 + p12 = p1

Подставляя правые части этих равенств в соотношение для M(X + Y), получим

M(X + Y) = (x1p1 + x2p2) + (y1g1 + y2g2) = M(X) + M(Y).