14. Непрерывная случайная величина: определение, функция распределения и ее свойства.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x.

F(x) = P(X < x). Функция F(x) называется также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее заданной точки x.

Свойства

1. Функция распределения является неубывающей.  В самом деле, пусть  < . Так как вероятность любого события неотрицательна, то . Поэтому из формулы следует, что  , т.е.  .

2.  Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам  . Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность. Ясно, что  и  . 

3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a;b), то: 1) F(x)=0 при x ≤a; 2) F(x)=1 при x≥b.

15. Плотность распределения непрерывной случайной величны, свойства плотности распределения.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется функция f(x) – первая производная от функции распределения F(x).

Плотность распределения также называют дифференциальной функцией.

Свойства:

Укажем основные свойства плотности распределения.

1.  Плотность распределения есть неотрицательная функция: .

2. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице: .

16. Числовые характеристики непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Где f ( x ) дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

Модой М₀(Х) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции.

Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

17. Равномерное распределение.

Случайная величина   имеет равномерноераспределение на отрезке [a,b], если она непрерывна, принимает значения только на отрезке [a,b], а плотность ее распределения постоянна на отрезке [a,b], и равна 0 вне этого отрезка.

Математическое ожидание для равномерного распределения.

Дисперсия:

18. Нормальное распределение.

Нормальное распределение (синоним - гауссово распределение) - распределение непрерывной случайной величины с плотностью

Здесь "мю" - математическое ожидание, "сигма" - среднеквадратическое отклонение (корень квадратный из дисперсии). Функция распределения не может быть записана через элементарные функции, поскольку интеграл от плотности распределения "неберущийся". Поэтому её записывают вот так:

Вероятность того, что непрерывная случайная величина окажется каким-либо действительным числом, равна единице, поскольку полагается, что величина может принимать значение только на множестве действительных чисел. Поэтому

График плотности распределения для нормально распределённой случайной величины имеет вид, отдалённо напоминающий колокол: