- •Случайные события: виды событий, действия над событиями. Свойства действий над событиями. Отношения между событиями.
- •Частота и относительная частота события. Свойства относительной частоты. Вероятность случайного события. Связь между вероятностью и относительной частотой.
- •Аксиоматическое определение вероятности.
- •Классическое определение вероятности.
- •Геометрическая вероятность.
- •Вероятность суммы событий
- •Условная вероятность случайного события. Вероятность произведения событий. Зависимые и независимые события.
- •Формула полной вероятности. Формула Байеса.
- •Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
- •Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа.
- •Дискретная случайная величина: определение, закон распределения, функция распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины.
- •Биноминальное распределение.
- •Распределение Пауссона.
- •Непрерывная случайная величина: определение, функция распределения и ее свойства.
- •Плотность распределения непрерывной случайной величны, свойства плотности распределения.
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины.
- •Равномерное распределение.
- •Нормальное распределение.
- •Двумерная дискретная случайная величина: закон совместного распределения, частные законы распределения компонент. Условные законы распределения компонент. Независимость случайных величин.
- •Свойства математического ожидания случайной величины
- •Свойства дисперсии случайной величины.
- •Числовые характеристики систем случайных величин. Коэффициент корреляции, свойства коэффициента корреляции.
- •Линейная функция регрессии.
- •Неравенство Маркова.
- •Неравенство Чебышева.
- •Теорема Чебышева.
- •Теорема Бернулли.
- •Центральная предельная теорема.
- •Генеральная и выборочная совокупности. Полигон частот ( относительных частот), гистограмма.
- •Выборочная функция распределения.
- •Точечная оценка неизвестных параметров распределения: общая постановка задачи, свойства статистических оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность).
- •Выборочная средняя как точечная оценка независимого математического ожидания, свойства.
- •Выборочная дисперсия (определение, свойства), исправленная выборочная дисперсия.
- •Интервальные оценки параметров распределений. Доверительная вероятность и уровень значимости.
- •Проверка статистических гипотез. Общая схема, ошибки первого и второго рода, односторонний и двусторонний критерий, мощность критерия.
- •Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней.
Классическое определение вероятности.
Вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу, Р (A) = m / n.
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Р (A) = m / n = n / n = 1.
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. 0 ≤ Р (А) < 1
Свойство 4. P(A+В) = P(A)+ P(В)
Геометрическая вероятность.
Геометрические вероятности — вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т. д.).
Вероятность попадания точки на отрезок l определяется равенством Р = Длина l / Длина L.
Вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Р = Площадь g / Площадь G.
Вероятность суммы событий
Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.
В частности, если два события А и B — несовместные, то А + В — событие, состоящее в появлении одного из этих событий, безразлично какого.
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В. Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно, Р (A + В) = (m1 + m2) / n = m1 / n + m2 / n.
Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим Р (А + В) = Р (А) + Р (В).
Условная вероятность случайного события. Вероятность произведения событий. Зависимые и независимые события.
Условной вероятностью РA (В) называют вероятность события В, вычисленную в предположении, что событие А уже наступило, по определению, равна РA (В) = Р (АВ) / Р (А) (Р(A)>0).
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (АВ) = Р (А) РA (В). (*)
Доказательство: По определению условной вероятности, РA (B) = Р (АВ) / Р (A).
Отсюда Р (АВ) = Р (А) РA (В).
З а м е ч ан и е. Применив формулу (*) к событию ВА, получим Р (ВА) = Р (В) РB (А), или, поскольку событие ВА не отличается от события АВ, Р(АВ) = Р (В) РB (А). (**) Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства Р (А) РA (В) = Р (В) РB (А). (***)
Два события называют независимыми, если вероятность их совмещения равна произведению вероятностей этих событий; в противном случае события называют зависимыми.
Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: РA (В) = Р (В). (*)
Если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что свойство независимости событий взаимно.
Для независимых событий теорема умножения имеет вид Р (АВ) = Р (А) Р (В).