36. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней.

Дисперсия генеральной совокупности известна. Пусть генеральная совокупность X распределена нормально, причем генеральная средняя а, хотя и неизвестна, но име­ются основания предполагать, что оиа равиа гипотетичес­кому (предполагаемому) значению а„. Например, если X — совокупность размеров х, партии деталей, изготовляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генераль­ная средняя а этих размеров равна проектному размеру ао- Чтобы проверить это предположение, иаходят выборочную среднюю х и устанавливают значимо, или незначимо, раз­личаются х и Oq. Если различие окажется незначимым, то стаиок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то стаиок требует подиаладки.

Предположим, что дисперсия генеральной совокупнос­ти нзвестиа, например, из предшествующего опыта, или иайдена теоретически, или вычислена по выборке большого объема (по большой выборке можио получить достаточно хорошую оценку дисперсии).

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности извлечена_выборка объема п и по ней найдена выборочная средняя х. причем генеральная дисперсия о' известна Требуется по выборочной средней, при заданном уровне значимости, проверить нулевую гипотезу Н0: а—а,, о равенстве генеральной средней а гипотетическому значе­нию а0.

Учитывая, что выборочная средняя является несмещеи ной оценкой генеральной средней (гл XVI, § £>), те М{Х)=а, нулевую гипотезу можно записать так : М(Х)=ай

Таким образом, требуется проверить, что математичес кое ожидание выборочной средней равно гипотетической генеральной средней Другими словами, иадо установить значимо, или незначимо, различаются выборочная и ге­неральная средние.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину

U =      = (Х-воЖ^Г

которая распределена нормально, причем, при справедли­вости нулевой гипотезы, Atf(£/)=0, or(l/)=l.

Поскольку здесь критическая область строится в за­висимости от вида конкурирующей гипотезы так же, как в § 10, ограничимся формулировкой правил проверки ну­левой гипотезы, обозначив значение критерия U, вычислен­ное по данным наблюдений через Umбл-