34. Интервальные оценки параметров распределений. Доверительная вероятность и уровень значимости.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Если   > 0 и   то, чем меньше  , тем оценка точнее. Таким образом, положительное число   характеризует точность оценки.

Надежностью (доверительной вероятностью) оценки   по   называют вероятность , с которой осуществляется неравенство  . Обычно надежность оценки задается наперед, причем в качестве   берут число, близкое к единице. Наиболее часто задают надежность, равную 0,95; 0,99 и 0,999.

Доверительным называют интервал [ ], который покрывает неизвестный параметр с заданной надежностью  .

Если случайная величина X распределена нормально, то выборочная средняя  , найденная по независимым наблюдениям, также распределена нормально.

При нормальном распределении вероятность попадания случайной величины в интервал от -Е до +Е выражается формулой:

,

где

при t>0

Ф(t) называется интегралом Лапласа или доверительной вероятностью, соответствующей доверительному интервалу +/-Е, а величину 1 – Ф(t) – уровнем значимости.

35. Проверка статистических гипотез. Общая схема, ошибки первого и второго рода, односторонний и двусторонний критерий, мощность критерия.

Статистической называют  гипотезу о виде неизвестного распределения  или о параметрах известных распределений.

В математической статистике принята следующая схема: вероятность ошибки первого рода обычно заранее фиксируют и стараются найти критерий, который при фиксированном α обладает большей мощностью (т.е. ошибка 1-го рода фиксирована, а величина ошибки 2-го – наименьшая).

Обычно уровень значимости α = 0.05; 0.01 или 0.005 (или меньше), причем его величина зависит от важности задачи: в медицине 0.005, в экономике и технике 0,05.

Если событие   все-таки произошло, то гипотеза   отвергается. При этом, разумеется, можно допустить ошибку, заключающуюся в том, что гипотеза   отвергается, хотя она верна. Это так называемая ошибка первого рода. Ее вероятность равна  .

Возможна и ошибка второго рода, которая состоит в том, что гипотеза   принимается, хотя она и неверна, а верна одна из альтернативных гипотез. В случае, когда альтернативная гипотеза  единственна и при этом однозначно определено вероятностное распределение критерия на  , можно вычислить вероятность   ошибки второго рода (в предположении, что верна гипотеза  ):

Критическими точками (гра­ницами)   называют точки, отделяющие критическую об­ласть от области принятия гипо­тезы. Односторонней называют правостороннюю или лево­стороннюю критическую область. Двусторонней называют критическую область, опре­деляемую неравенствами  , где  . Мощностью критерия называют вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что верна конкурирующая гипотеза. Если обозначить вероятность ошибки второго рода (принятия неправильной нулевой гипотезы) β, то мощность критерия равна 1 – β. Следовательно, чем больше мощность критерия, тем меньше вероятность совершить ошибку второго рода. Поэтому после выбора уровня значимости следует строить критическую область так, чтобы мощность критерия была максимальной.