30. Выборочная функция распределения.

Эмпирической функцией распределения (выборочной функцией рас­пределения) называют функцию 

F* (х), опреде­ляющую для каждого значения х относительную частоту события X < х.

Итак, по определению  , где   – число вариант, меньших  ,   – объем выборки.

Из определения функции  вытекают следующие ее свойства:

1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку  ;

2)   – неубывающая функция;

3) если   – наименьшая варианта, то  , при  ;

  если   – наибольшая варианта, то   при  .

Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

31. Точечная оценка неизвестных параметров распределения: общая постановка задачи, свойства статистических оценок (несмещенность, состоятельность, эффективность).

Точечной оценкой характеристики θ называют некоторую функцию   результатов наблюдений, значения которой близки к неизвестной характеристике θ генеральной совокупности.

Точечной оценкой неизвестного параметра µ называется любая статистика. Далее рассматривается несколько разумных свойств, которыми могли бы обладать “хорошие” оценки:

1. Несмещенной называют оценку   параметра q, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки, т. е.  .

Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру.

2. Эффективной называют оценку, дисперсия которой достигает нижней границы для непрерывных распределений экспоненциального типа при некоторых дополнительных условиях. Эффективная оценка имеет наименьшую возможную дисперсию. Из двух разных оценок более эффективной является та, которая имеет меньшую дисперсию. Такая оценка меньше варьируется от выборки к выборке.

3. Состоятельной называют статистическую оценку, которая при увеличении объема выборки n→∞ стремится по вероятности к оцениваемому параметру. Например, если дисперсия несмещенной оценки при n→∞ стремится к нулю, то такая оценка является и состоятельной.

Следует сделать замечание: несмещенные и эффективные оценки всегда состоятельны, и, если  , то   – состоятельная оценка (обратное утверждение: если оценка состоятельна, то ее дисперсия стремится к нулю с ростом  , – не всегда верно).

32. Выборочная средняя как точечная оценка независимого математического ожидания, свойства.

 Выборочной средней называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности.

Если все значения признака выборки различны, то

если же все значения имеют частоты n₁, n₂,…,n_k, то

Выборочная средняя является несмещенной и состоятельной  оценкой генеральной средней.

Замечание: Если выборка представлена интервальным вариационным рядом, то за x_i принимают середины частичных интервалов.

33. Выборочная дисперсия (определение, свойства), исправленная выборочная дисперсия.

Выборочной дисперсией D_B называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений.

Свойство 1. Если все значения x₁, x₂,..., x_n признака выборки объема n различны, то

Свойство 2. Если же значения признака x₁, x₂,..., x_k имеют соответственно частоты n₁, n₂,..., n_k , причем n₁+n₂+...+n_k = n, то

т. е. выборочная средняя есть средняя взвешенная значений признака с весами, равными соответствующим частотам.

Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки - это определенное число. Если извлекать другие выборки того же объема из той же генеральной совокупности, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке. Таким образом, выборочную среднюю можно рассматривать как случайную

величину, и можно говорить о распределениях (теоретическом и эмпирическом) выборочной средней и о числовых характеристиках этого распределения (его называют выборочным), в частности о математическом ожидании и дисперсии выборочного распределения.