1. Случайные события: виды событий, действия над событиями. Свойства действий над событиями. Отношения между событиями.

Случайными событиями мы будем называть любое явление, которое может происходить вокруг нас (или не происходить).

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. Несовместные, т.е. события, которые не могут произойти одновременно.

Теорема: Если события А и В несовместны, то их произведение есть невозможное событие.

Полной группой событий называется совокупность всех возможных результатов опыта.

Достоверным событием называется событие, которое наверняка произойдет в результате опыта.

Событие называется невозможным, если оно никогда не произойдет в результате опыта.

События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них появится в результате опыта с большей вероятностью.

Действия над событиями.

1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произойдет либо событие А, либо событие В, либо, если это возможно, они произойдут одновременно. 

2. Произведением А*В событий А и В называется событие, состоящее в том, что события А и В произойдут одновременно.

3. Разностью А\В событий А и В называется событие, состоящее в том, что произойдет та часть события А, которая не входит в В.

4. Событие противоположное к данному. А или дополнение события А.

2. Частота и относительная частота события. Свойства относительной частоты. Вероятность случайного события. Связь между вероятностью и относительной частотой.

Пусть в n опытах некоторое событие А наступило N_a раз. Число N_a – частота события А.

P^*(A) - относительная частота (частота).

Свойства:

1. P^*(A)

2. P^*( ) = 0

3. P^*(Ω) = 1

4. Если А и В несовместны, то P^*(A+В) = P^*(A)+ P^*(В)

Вероятность события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу. И определяется формулой: . Где Р(А) — вероятность события A, m — число благоприятствующих событию A исходов, n — общее число возможных исходов.

Определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности. Определение относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Или вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту – после опыта.

3. Аксиоматическое определение вероятности.

Вероятностью события А называется числовая функция Р(А), удовлетворяющая след. аксиомам вероятности:

1. Р(А) ≥ 0 ; неотрицательность

2. Р(Ω) = 1, Ω - достоверное событие ;

3. Для любых попарно несовместных событий А₁, А₂…A_n справедливо следующее равенство: Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

Следствия из аксиом

1. Вероятность невозможного события равна нулю: P(∅) = 0. 2. Для любого события А P( ) = 1 - P(A). 3. Каково бы ни было случайное событие А, 0 ≤ P(A) ≤ 1. 4. Если событие А влечет за собой событие В, то P(A) ≤ P(B).

5. Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

6. P(A+В) = P(A)+ P(В)