§ 5. Сферическая система координат

В пространстве E³ введем дополнительную структуру:

1) Зафиксируем произвольную точку O;

2) Зафиксируем луч l с началом в точке O;

3) Зафиксируем плоскость , содержащую луч l;

4) Зафиксируем полуплоскость ’ - одну из двух полуплоскостей, на которые плоскость  делит прямая, содержащая луч l;

5) Зафиксируем полупространство П - одно из двух полупространств, на которые плоскость  делит пространство.

Фиксированное полупространство П назовем положительным полупространством.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,l,,’,П).

РИС 14 (1,2)

В дальнейшем нам удобно будет так же фиксировать прямую, проходящую через точку O (такая прямая существует, и при том только одна), назовем ее осью (Oz).

В плоскости  введем полярную систему координат v_.

Определим отображение : E³ \ (Oz)  (0, +)[0,2) по следующей формуле:

v (A) = (, , ) (*),

где  = |OA|,

 - вторая полярная координата точки A’ - проекции точки A на плоскость ,

|| - радианная мера угла A’OA, при этом  > 0, если A  П, и   0 иначе.

Замечания.

1) Как мы видим, из пространства исключена ось (Oz). Действительно, если точка A лежит на оси (Oz), то ее проекция на плоскость  - это точка O, для которой не определена полярная координата .

2) Геометрически, || для точки A - это угол между прямой OA и плоскостью .

3) Заметим, что  в данном случае не является полярной координатой точки A’ в отличие от случая цилиндрической системы координат

Определение. Отображение v (*) будем называть сферической системой координат в пространстве.

Определение. Числа r, j и  такие, что v (A) = (r, j, ) будем называть сферическими координатами точки A.

Обозначение: в дальнейшем будем употреблять более распространенное обозначение, и вместо v (A) = (r, j, ) будем писать A(r,j,).

Теорема. Сферическая система координат - это биективное отображение.

Доказательство (провести самостоятельно).

Замечание.

В сферической системе координат координатные поверхности  = const - это сферы с центром в точке O, координатные поверхности j = const - это перпендикулярные плоскости a полуплоскости с границей (Oz), координатные поверхности  = const - это круговые конусы с вершиной в точке O.

Теорема. (О взаимосвязи декартовых сферических координат точки).

Пусть в пространстве введены сферическая и декартова системы координат так, начало декартовой системы координат - это фиксированная точка сферической системы координат, полярная ось l совпадает с положительным лучом оси (Ox), полуплоскость ’ содержит положительный луч оси (Oy), а положительный луч оси (Oz) декартовой системы координат содержится в положительном полупространстве П сферической системы координат.

Тогда для любой точки плоскости (кроме точек на оси (Oz)) ее декартовы координаты (x,y,z) выражаются через ее сферические координаты (,,) по следующим формулам:

x =  cos cos , y =  cos sin , z = sin, при этом ² = x² + y²+z².

Доказательство.

Возьмем произвольную точку A Î E³ \ (Oz), и пусть A(x,y,z) и A(r,j,).

По условию теоремы совпадают плоскости  и (xOy), и оси (Oz). Рассмотрим проекцию точки A на плоскость  - точку A’.

1 случай. Точка A не лежит в плоскости .

Тогда точки A и A’ не совпадают.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |OA’| = |OA| |cos|.

Так как   , то cos  0 и |OA’| =  cos..

В плоскости  введена полярная система координат, и |OA’| - это первая полярная координата точки A’. Тогда x = |OA’| cos, y = |OA’| sin (см. § 3)., то есть x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.

Третья декартова координата точки A такова, что |z| = |AA’|.

Из прямоугольного треугольника OAA’: |AA’| = |OA| |sinq|.

Заметим, что знаки q и z совпадают (так как одинаково зависят от положения точки A относительно полупространства П), поэтому z =  sin.

2 случай. Точка A лежит в плоскости .

Тогда точки A и A’ совпадают, |OA| = |OA’| =  и |AA’| = 0.

Заметим, так же, что  = 0 и z = 0, поэтому равенство z =  sin выполняется для координат точки A.

Рассуждения для декартовых координат х и y точки A аналогичны случаю 1, то есть x = |OA’| cosj, y = |OA’| sinj. С учетом того, что  = 0 и cos = 1, получаем, что для координат точки A справедливы и равенства x = r cosq cos j, y = r cosq sin j.

Упражнение.

Пусть в пространстве введена сферическая система координат. Какие линии высекают координатные поверхности  = const и  = const, на каждой из сфер  = const. (Сравните с географическими координатами: широтой и долготой - на глобусе).