Введение

Данное пособие представляет собой конспект лекций по аналитической геометрии, которые читались на факультете математики Кобельским Виктором Леонидовичем студентам специальности «050201 математики» и направления «050200 физико-математическое образование».

Лекционный теоретический материал снабжен сериями упражнений и задач.

Рекомендуется для студентов математических и технических специальностей и направлений.

Принятые обозначения:

R – поле действительных чисел

Rⁿ – прямое произведение n экземпляров множества R

Eⁿ –

при n = 1 евклидова прямая

при n = 2 евклидова плоскость

при n = 3 евклидово пространство

на котором определена функция расстояния*.

*Замечание. Будем говорить, что на множестве E¹ введена функция расстояния, если определено такое отображение r: E¹´ E¹ ® R, что:

1. r - неотрицательная функция: r (A,B) ³ 0 для любых двух точек A,B, Î E¹;

и r(A,B) = 0 Û A = B

2. r - симметричная функция: r (A,B) = r(B,A) для любых двух точек A,BÎ E¹;

3. «Неравенство треугольника»: r(A,B) + r (B,C) ³ r(A,C) для любых трех точек A,B,СÎ E¹; и r(A,B) + r (B,C) = r(A,C) Û точка B лежит между точками A и C;

4. Существуют точки A,B Î E¹ такие, что r (A,B) = 1.

Расстоянием между точками A и B и длиной отрезка [AB] называю значение функции r(A,B).

Чаще всего длину отрезка [AB] обозначают |AB|, то есть по определению |AB| = r(A,B).

Отрезок, длина которого равна единице, называют единичным отрезком.

В рамках аксиоматического построения геометрии (евклидовой) доказываются следующие факты:

- Два отрезка равны тогда, и только тогда когда равны их длины.

- На любом луче можно отложить отрезок любой наперед заданной длины, и при том единственным образом, то есть для любого числа r ³ 0 на любом луче существует ровно одна точка A такая, что |OA| = r, где O - начало луча l.

|| || = , где Î Rⁿ и = (x₁, … , x_n);

|| - || = (*), где , Î Rⁿ и = (x₁, … , x_n), = (y₁, … , y_n);

в случае n = 1 || - || = |x - y|.

Заметим, что функция f( , ) = || - || удовлетворяет требованиям 1-4 из определения расстояния между точками

Vⁿ – n-мерное векторное пространство

- скалярное произведение векторов и :

- векторное произведение векторов и :

- смешанное произведение векторов , , .

§ 1. Декартова система координат

1.1. Декартова система координат на прямой.

Введем на прямой E¹ дополнительную структуру (*):

1) Зафиксируем произвольную точку O  E¹;

2) Выберем один из двух лучей, на которые точка O разделила прямую E¹, и назовем его положительным лучом, второй луч назовем (соответственно) отрицательным.

Обозначим положительный луч l₊, отрицательный луч l _-.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,l₊).

РИС1

Определим отображение : E¹  R по следующей формуле:

(A) = (**)

Определение. Отображение  (**) будем назвать декартовой системой координат на прямой.

Определение. Число x  R такое, что (A) = x будем назвать координатой точки A в системе координат .

Определение. Фиксированную точку O будем называть началом координат.

Замечание. Иногда декартовой системой координат называют фиксированную на прямой. структуру (*).

Теорема. Декартова система координат - это биективное отображение.

Доказательство.

1) Инъективность отображения .

Пусть точки A, B  E¹ таковы, что (A) = (B) = x (xR) (то есть координаты точек совпадают), докажем, что точки A и B совпадают.

Если x > 0, то A,B  l₊ и x = |OA| = |OB|. Тогда точки A и B совпадают, так как на луче отложить отрезок данной длины можно единственным образом.

Если x < 0, то A,B Î l _-, -x = |OA| = |OB| и ситуация аналогична предыдущей.

Если x = 0, то |OA| = |OB| = 0 и точки O,A,B совпадают по свойству 1 (из определения расстояния)

2) Сюрьективность отображения .

Пусть x  R, найдем такую точку A  E¹, что (A) = x.

Если x > 0, то отложим на луче l₊ отрезок длины x: |OA| = x. Тогда по определению функции  координата точки будет равна x.

Если x < 0, то отложим на луче l _- отрезок длины (-x): |OA| = -x, тогда (A) = x.

Если x = 0, то в качестве точки A возьмем точку O.

Замечание. Так как  - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждого действительного числа x  R существует ровно одна точка A  E¹ такая, что (A) = x.

Обозначение: вместо записи w(A) = x мы будем употреблять более распространенную запись A(x).

Упражнения.

(1) Пусть на прямой введена декартова система координат, и пусть координаты точек A и B следующие : A(x_A), B(x_B).

Докажите, что если 0 < x_A < x_B или x_B < x_A < 0, то точка A лежит между точками O и B.

(2) Как изменятся координаты точек, если на прямой ввести новую декартову систему координат?