1.3. Декартова система координат в пространстве

Введем в пространстве E³ дополнительную структуру ():

1) Зафиксируем произвольную точку O Î E³;

2) Зафиксируем упорядоченную тройку взаимно перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке O.

3) На каждой из трех фиксированных прямых выберем один из двух лучей, на которые точка O разделила эту прямую, и назовем его положительным лучом.

На каждой из фиксированных прямых определена декартова система координат с началом координат в точке O, то есть для каждой точки лежащей на первой, на второй или на третьей прямой однозначно определено число по правилу, описанному в пункте 1.1.

Обозначим декартову систему координат на первой прямой w_x, декартову систему координат на второй прямой w_y, декартову систему координат на третьей прямой w_z.

Итак, мы зафиксировали упорядоченный набор (O,x₊,y₊,z₊).

Определим отображение w: E³ ® R³ по следующей формуле:

w(A) = (x,y,z ), где x = w_x(A_x), A_x - проекция точки A на первую прямую,

y = w_y(A_y), A_y - проекция точки A на вторую прямую,

z = w_z(A_z), A_z - проекция точки A на вторую прямую ().

РИС. 3

Определение. Отображение w (°°) будем назвать декартовой системой координат в пространстве.

Определение. Упорядоченную тройку чисел (x, y, z) Î R³ такую, что w(A) = (x, y, z) будем назвать координатами точки A в системе координат w.

Определение. Фиксированную точку O будем называть началом координат.

Определение. Три фиксированные прямые в данной структуре будем называть координатными осями. Первую прямую в данной фиксированной структуре будем назвать осью (Ox) или осью абсцисс, вторую прямую - осью (Oy) или осью ординат, третью прямую - осью (Oz) или осью аппликат.

Первую координату точки будем назвать абсциссой точки, вторую координату точки будем назвать ординатой точки, третью координату - аппликатой точки.

Плоскости, проходящие через координатные оси, будем называть координатными плоскостями.

Замечание. Иногда декартовой системой координат называют фиксированную на плоскости структуру (°).

Теорема. Декартова система координат на плоскости - это биективное отображение.

Доказательство ( самостоятельно).

Замечание. Так как w - это биективное отображение, то оно обратимо, то есть для каждой тройки действительных чисел существует ровно одна точка пространства, для которой эти числа являются координатами.

Обозначение: вместо записи w(A) = (x, y, z) мы будем употреблять более распространенную запись A(x, y, z).

§ 2. Формула для вычисления расстояния между точками в декартовой системе координат

Обозначения:

Eⁿ при n = 1 - прямая, n = 2 - плоскость, n = 3 - пространство;

Rⁿ = (здесь n = 1,2,3) - множество упорядоченных наборов из n действительных чисел;

|| || = , где  Rⁿ и = (x₁, … , x_n);

|| - || = (*), где , Î Rⁿ и = (x₁, … , x_n), = (y₁, … , y_n);

в случае n = 1 || - || = |x - y|.

Заметим, что функция f( , ) = || - || удовлетворяет требованиям 1-3 из определения меры (см. § …)

Пусть в пространстве Eⁿ введена декартова система координат.

Теорема. Расстояние между точками A и B можно вычислить по следующей формуле:

|AB| = || _A - _B|| ,

где _A - координаты точки A, _B - координаты точки B.

Доказательство.

1) n = 1

Рассмотрим различное расположение точек A и B и начала координат O.

1 случай. Точки A и B расположены по разные стороны от точки O (или O  [AB]).

В этом случае |AB| = |OA| + |OB| и координаты точек имеют различные знаки, то есть либо x_A  0, x_B  0, либо x_A 0, x_B  0.

Если x_A ³ 0, x_B £ 0, то |OA| = x_A, |OB| = - x_B, и |AB| = x_A - x_B = |x_B - x_A|.

Если x_A  0, x_B  0, то |OA| = - x_A, |OB| = x_B, и |AB| = x_B - x_A = |x_B - x_A|.

РИС 4(1,2)

2 случай. Точки A и B лежат по одну сторону от начала координат O.

В этом случае координаты точек имеют одинаковые знаки, то есть либо x_A ³ 0, x_B  0, либо x_A £ 0, x_B  0. При этом |AB| = |OA| - |OB| (если B между A и O) или |AB| = |OB| - |OA| (если A между B и O), то есть |AB = | |OB| - |OA| |.

Если x_A ³ 0, x_B  0, то |OA| = x_A, |OB| = x_B, и |AB| = |x_B - x_A|.

Если x_A £ 0, x_B  0, то |OA| = - x_A, |OB| = - x_B, и |AB| = | - x_B + x_A| = |x_B - x_A|.

РИС 5(1,2)

2) n = 2

Рассмотрим различное расположение прямой AB и координатных осей.

Пусть A_x, B_x - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Ox),

A_y, B_y - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Oy).

1 случай. Прямая AB не параллельна ни одной координатной оси и не совпадает ни с одной из координатных осей.

РИС 6

Тогда |AB|² = | A_xB_x|² + |A_yB_y|².

С другой стороны по п.1 |A_xB_x| = |x_B - x_A|, |A_yB_y| = |y_B - y_A|.

Так, что |AB| = = = || _A - _B||.

2 случай. Прямая AB параллельна или совпадает с одной из координатных осей.

Если AB параллельна или совпадает с осью (Ox), тогда |AB| = |A_xB_x| и |A_yB_y| = 0, поэтому

равенство |AB|² = | A_xB_x|² + |A_yB_y|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

Если AB параллельна или совпадает с осью (Oy) поступим аналогично предыдущему варианту.

РИС 7 (1,2)

3) n = 3

Пусть A_xy, B_xy - проекции точек A и B (соответственно) на плоскость (xOy),

A_z, B_z - проекции точек A и B (соответственно) на ось (Oz).

1 случай. Прямая AB не параллельна и не лежит в плоскости (xOy) и не параллельна и не совпадает с осью (oz).

РИС. 8

Тогда |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|².

С другой стороны по п.1 |A_zB_z| = |z_B - z_A|,

по п. 2 |A_xyB_xy| = |.

Так, что |AB| = = || _A - _B||.

2 случай. Прямая AB параллельна или лежит в плоскости (xOy).

Тогда |AB| = |A_xyB_xy| и |A_zB_z| = 0, поэтому равенство |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

РИС. 9

3 случай. Прямая AB параллельна или совпадает с осью (Oz).

Тогда |AB| = |A_zB_z| и |A_xyB_xy| = 0, поэтому равенство |AB|² = | A_xyB_xy|² + |A_zB_z|² так же справедливо и мы можем воспользоваться доказательством случая 1.

РИС. 10

Упражнения.

(1) Докажите пространственную теорему Пифагора: Пусть a,b,c - длины смежных ребер прямоугольного параллелепипеда, d - длина диагонали этого параллелепипеда, тогда d² = a² + b² + c².

(2) Предложите доказательство предыдущей теоремы для n = 3 аналогичное доказательству для n =2.

(3) Верно ли, что если длины смежных ребер a,b,c и длина диагонали d в некотором параллелепипеде таковы, что d² = a² + b² + c², то этот параллелепипед прямоугольный?

(4) Постройте изображение точек A,B,C и D. Определите, какая из точек A, B или D ближе к точке C, если A (1,0,-3), B (3,1,0), C(0,-2,2), D(0,4,0).